Question

2．（1）如图1，菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=60°，连接EF，作△AGF，使△AGF与△AEF关于直线AF对称，连接DG． 求证：DG=BE；
（2）如图2，等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点M，N在边BC上，M在N的左边，且∠MAN=60°，若BM=2，NC=3，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）利用轴对称的性质可得∠GAF=∠EAF=60°，AG=AE，再得出∠BAE=∠DAG，从而证得△ABE≌△ADG，即可得出结论；
（2）作△APN，使△APN与△AMN关于直线AN对称，连接PC，由（1）可得△ABM≌△ACP，PC=BM=2，MN=PN，∠ACP=∠ABM=30°，进而得到∠NCP=60°，然后过点P作BC的垂线，垂足为E，利用勾股定理求解即可．

解答 （1）证明：∵△AGF与△AEF关于直线AF对称，
∴∠GAF=∠EAF=60°，AG=AE，
∵∠BAD=120°，
∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=60°，
∴∠BAE=∠DAG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠BAE=∠DAG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG，
∴DG=BE；
（2）解：作△APN，使△APN与△AMN关于直线AN对称，连接PC，
由（1）可得△ABM≌△ACP，PC=BM=2，MN=PN，∠ACP=∠ABM=30°，
∴∠NCP=60°，
过点P作BC的垂线，垂足为D，
∴CD=$\frac{1}{2}$PC=1，DN=CN-CD=2，
∴PD=PC•sin∠PCD=$\sqrt{3}$，
∴MN=PN=$\sqrt{P{D}^{2}+D{N}^{2}}$=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ADC≌△BDF，注意：全等三角形的对应边相等，难度适中．