Question

10．△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC方向平移得到△A′B′C′，使得B′C=4，连结A′C，则△A′B′C的周长为12或8+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 分类讨论：当点B′在线段BC上，如图1，根据平移的性质得AB=A′B′=4，BC=B′C′=6，∠ABC=∠A′B′C′=60°，由于B′C=4，则可判断△A′B′C为等边三角形，于是得到△A′B′C的周长为12；
当点B′在线段BC上，如图2，作B′H⊥A′C，根据平移得性质得AB=A′B′=4，∠ABC=∠A′B′C′=60°，则A′B′=B′C=4，根据等腰三角形的性质得∠B′CA=∠B′A′C，CH=A′H，再计算出∠B′CA′=30°，在Rt△B′CH中利用含30度的直角三角形三边的关系求出CH=$\sqrt{3}$B′H=2$\sqrt{3}$，然后计算△A′B′C的周长．

解答 解：当点B′在线段BC上，如图1，
∵△ABC沿射线BC方向平移得到△A′B′C′，
∴AB=A′B′=4，BC=B′C′=6，∠ABC=∠A′B′C′=60°，
∵B′C=4，
∴A′B′=B′C，
∴△A′B′C为等边三角形，
∴△A′B′C的周长为12；
当点B′在线段BC上，如图2，作B′H⊥A′C，
∵△ABC沿射线BC方向平移得到△A′B′C′，
∴AB=A′B′=4，∠ABC=∠A′B′C′=60°，
∵B′C=4，
∴A′B′=B′C，
∴∠B′CA=∠B′A′C，CH=A′H，
而∠A′B′C′=∠B′CA=∠B′A′C，
∴∠B′CA′=30°，
在Rt△B′CH中，∵∠B′CH=30°，
∴B′H=$\frac{1}{2}$CB′=2，
∴CH=$\sqrt{3}$B′H=2$\sqrt{3}$，
∴A′C=2CH=4$\sqrt{3}$，
∴△A′B′C的周长=4+4+4$\sqrt{3}$=8+4$\sqrt{3}$．
故答案为12或8+4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质．