Question

7．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于C、D，交AB于E，AF为⊙O的直径，有下列结论：
①∠ABP=∠AOP；②BC=DF； ③∠PAC=$\frac{1}{2}$∠AOP；④BE²=$\frac{PE•BF}{2}$
其中正确的结论有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 首先连接OB，根据切线长定理得PA=PB，∠APO=∠BPO；易证得△APO≌△BPO，得∠AOP=∠BOP，即$\widehat{AC}=\widehat{BC}$；再根据这些基础条件进行判断即可．

解答 解：连接OB；
∵PA、PB都是⊙O的切线，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO；
在△APO和△BPO中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{∠APO=∠BPO}\\{PO=PO}\end{array}\right.$，
∴△APO≌△BPO（SAS），
∴∠AOP=∠BOP，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}$；
①∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBA=∠AFB，
由$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，得∠AFB=∠AOP，
∴∠PBA=∠AOP；
故①正确；
②∵∠AOC=∠BOC=∠FOD，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}=\widehat{FD}$，
∴BC=DF，
故②正确；
③同①，可得∠PAB=∠AOC；
∵$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠PAB，
∴AC平分∠PAB，
∴∠PAC=$\frac{1}{2}$∠AOP，
故③正确；
④在△PEB和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEB=∠APF}\\{∠PBE=∠AFB}\end{array}\right.$，
∴△PEB∽△ABF，
∴BE：PE=BF：AB=BF：2BE，2BE²=$\frac{1}{2}$PE•BF，
故④正确；
综上所述，正确的结论共有4个；
故选A．

点评 此题主要考查的是切线的性质，涉及的知识点有：圆周角定理，全等三角形的判断和性质，切线长定理，圆心角、弧、弦的关系等，题目的综合性较强，对学生的综合能力要求很高，是一道不错的中考题．