Question

11．如图，△ABC内接于⊙O，D为$\widehat{AC}$的中点，BD交AC于点E．
（1）求证：CD是DE和BD的比例中项；
（2）当CD=2$\sqrt{3}$时，点O到AC的距离为1时，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定方法得△CDE∽△BDC，根据相似三角形的性质得到$\frac{DE}{DC}=\frac{DC}{BD}$，即可得到结论；
（2）连接OD交AC于F，OC，根据垂径定理得到OD⊥AC，OF=1，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵D为$\widehat{AC}$的中点，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠DBC=∠ACD，
∵∠D为公共角，
∴△CDE∽△BDC，
∴$\frac{DE}{DC}=\frac{DC}{BD}$，
∴CD是DE和BD的比例中项；

（2）连接OD交AC于F，OC，
∵D为$\widehat{AC}$的中点，
∴OD⊥AC，OF=1，
∴CF²=CD²-DF²=OC²-OF²，
∴（2$\sqrt{3}$）²-（OC-1）²=OC²-1，
∴OC=3，
∴⊙O的半径是3．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．