Question

【题目】正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，作∠CBD的角平分线BE，分别交CD，OC于点E，F．

（1）依据题意，补全图形（用尺规作图，保留作图痕迹）；

（2）求证：CE=CF；

（3）求证：DE=2OF．

Answer 1

【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）按照“用直尺和圆规作角的平分线的一般步骤作图”即可；

（2）由已知条件易得∠BOF=∠BCE=90°，∠CFE=∠BFO，∠BFO+∠OBF=90°，∠CEF+∠CBE=90°，再结合由BE平分∠CBD所得的∠DBE=∠CBE即可得到∠CFE=∠CEF，由此可得CE=CF；

（3）如图1，取BE的中点M，连接OM．结合已知条件易得OM是△BDE的中位线，从而可得DE=2OM，OM∥DE，结合（2）中所得CE=CF可得∠AMF=∠CEF=∠CFE=∠OFM，由此可得OF=OM，则可得得到DE=2OF.

（1）如下图，射线BE为所求角平分线：

（2）∵BE平分∠CBD，

∴∠CBE=∠DBE．

∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，

∴∠BOC=∠BCD=90°．

∵∠CBE+∠CEB=90°，∠DBE+∠BFO=90°，

∴∠CEB=∠BFO．

∵∠EFC=∠BFO，

∴∠EFC=∠CEB．

∴CF=CE．

（3）取BE的中点M，连接OM．

∵O为AC的中点，

∴OM∥DE， DE=2OM．

∴∠OMF=∠CEF．

∵∠OFM=∠EFC=∠CEF，

∴∠OMF=∠OFM．

∴OF=OM．

∴DE=2OF．