Question

【题目】问题提出

如图1，点A为线段BC外一动点，且，填空：当点A位于______时，线段AC的长取得最大值，且最大值为______用含的式子表示．

问题探究

点A为线段BC外一动点，且，如图2所示，分别以为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE长的最大值．

问题解决：

如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段AB外一动点，且，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

如图4，在四边形ABCD中， ，若对角线于点D，请直接写出对角线AC的最大值．

Answer 1

【答案】 CB的延长线上；

【解析】分析：

（1）由题意可知，当点A在CB的延长线上时，线段AC的值最大，最大值为：AC=AB+BC=a+b；

（2）由已知条件易证△ABE≌△ADC，由此可得BE=DC，结合（1）中结论可知，当点D在CB的延长线上时，BE最长=CD最长=BC+AB=9；

（3）①如下图5，连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，则由已知易得AB=3，AN=AP=，结合（1）可知，当点N在BA的延长线上时，AM最大=BN最大=AB+AN=；如图6，当点N在BA的延长线上时，过点P作PE⊥AN于点E，由△APN是等腰直角三角形，AP=2，即可求得OE和PE的长，从而可得此时点P的坐标；②如下图7，以BC为边作等边三角形△BCM，连接DM，由已知条件易证△ABC≌△DBM，从而可得AC=DM，由此可得当DM的值最大时，AC的值就最大，由∠BDC=90°可知点D在以BC为直径的上运动，由图可知当D在BC上方，且DM⊥BC时，DM的值最大，最大值为：等腰直角△BDC斜边BC上的高+等边△BMC的高.

详解：

（1）∵点A为线段BC外一动点，且，

∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为，

故答案为：CB的延长线上， ；

，

理由：∵与是等边三角形，

∴，

∴，

即，

在与中，

，

∴≌，

∴；

②∵线段BE长的最大值线段CD的最大值，

∴由知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，

∴最大值为；

（3）①如图5，连接BM，将绕着点P顺时针旋转得到，连接AN，则是等腰直角三角形，

∴，

∵的坐标为，点B的坐标为，

∴，

∴，

∴线段AM长的最大值线段BN长的最大值，

∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，

最大值，

∵，

∴最大值为；

如图6，过P作轴于E，

∵是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴

②如下图7，以BC为边作等边三角形△BCM，连接DM，

∵，

∴

∵，

∴≌，

∴，

∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，

∵定值， ，

∴点D在以BC为直径的上运动，

由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值=等腰直角△BDC斜边上的高+等边△BCM的高，

∵BC=，

∴DM最大=，

∴AC最大=．