Question

18．如图，在△ABC中，以AB边为直径作⊙O，交BC边于点D，BD=DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：BE=CF；
（2）若⊙O的半径为5，BC=12，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）如图，连接AD．通过证明Rt△BED≌Rt△CFD证得BE=CF；
（2）利用射影定理来求DE的长度．

解答 （1）证明：如图，连接AD．
∵AB是直径，
∴AD⊥BC．
又∵BD=DC，即点D是BC的中点，
∴AD是∠CAB的平分线，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
在Rt△BED与Rt△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；

（2）∵⊙O的半径为5，BC=12，
∴AB=10，BD=$\frac{1}{2}$BC=6．
在直角△BDE中，DE⊥AB，
∴BD²=BE•AB，即36=10BE，
解得 BE=3.6．
又DE²=BE•AB，
∴DE²=3.6×（10-3.6），则DE=4.8．

点评 本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及圆周角定理．解答（2）题时，也可以利用勾股定理和面积法来求线段DE的长度．