Question

10．如图，已知AC⊥BC，DF⊥EF，BC 与EF交于O，AC=DF，AE=BD
求证：
（1）BC=EF；
（2）△OEB是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由垂直的定义证出三角形全等的条件，根据全等三角形的性质得到结论．
（2）根据全等三角形的性质得到对应角相等，再由等腰三角形的判定得到结果．

解答 证明：（1）∵AE=BD，
∴AE+BE=BD+BE，
即：AB=DE，
又∵AC⊥BC，DF⊥EF，
∴∠ACB=∠DFE=90°，
在Rt△ACB和Rt△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DF}\\{AB=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACB≌Rt△DFE（HL），
∴BC=EF；
                  
（2）由（1）证得Rt△ACB≌Rt△DFE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴OE=OB，
∴△OEB是等腰三角形．

点评 本题考查了垂直的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形判定，证明两直角三角形全等是解题的关键．