Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AC上一点，连接BD，过A作AE⊥BD交BD的延长线于E，过E作EF⊥BC交BC的延长线于F，且AC=BF，BE=2AE．
（1）若EF=$\frac{4}{5}\sqrt{5}$，FB=$\frac{8}{5}\sqrt{5}$，AE=2，求四边形AEFB的面积；
（2）求证：BE平分∠ABC．

Answer 1

分析 （1）由三角形的面积和求得四边形的面积．
（2）延长AE交BF的延长线于点G，构造全等三角形，根据全等三角形的性质得到AG=BE，证得BE垂直平分AG，再由等腰三角形的性质三线合一得到结果．

解答 解：（1）∵BE=2AE，AE=2，
∴BE=4，
∴S_{四边形AEFB}=S_△AEB+S_△FBE=$\frac{1}{2}$×2×4$+\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{5}}{5}$×$\frac{8\sqrt{5}}{5}$=$\frac{36}{5}$；

（2）延长AE交BF的延长线于点G，
∵AE⊥BE，AC⊥BC，∠ADE=∠BDC，
∴∠EAD=∠DBC，
在△AGC与△BEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACG=∠BFE}\\{∠GAC=∠EBF}\\{AC=BF}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△BEF，
∴AG=BE，
∵BE=2AE，
∴AG=2AE，
∴BE垂直平分AG，
∴AB=BG，
∴BE平分∠ABC．

点评 本题考查了垂直的定义，三角形的面积的求法，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．