Question

12．在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，将一块等腰直角三角尺的直角顶点放在斜边AB的中点P处，绕点P旋转
（1）如图1，三角尺的两条直角边分别交边AC，BC于D，E两点，求证：△PDE为等腰三角形．
（2）如图2，三角尺的两条直角边分别交射线AC，射线CB于D，E两点．（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先证明∠BPE=∠PCD，再由ASA证明△PBE≌△PCD，即可得出PE=PD；
（2）同（1），即可得出结论．

解答 （1）证明：连接CP，如图1所示：
∵AC=BC，∠C=90°，P为斜边的中点，
∴PC⊥AB，PC=$\frac{1}{2}$AB=PB，∠PCD=∠B=45°，
∴∠BPE+∠EPC=90°，∠DPC+∠EPC=90°，
∴∠BPE=∠PCD，
在△PBE和△PCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠PCD}&{\;}\\{PB=PC}&{\;}\\{∠BPE=∠DPC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PBE≌△PCD（ASA），
∴PE=PD，
即△PDE为等腰三角形；
（2）结论成立；理由如下：
连接CP，如图所示：
由（1）得：∠BPE=∠PCD，∠PCD=90°+45°=135°，∠PBE=180°-45°=135°，
∴∠PCD=∠PBE，
同（1）可证：△PBE≌△PCD（ASA），
∴PE=PD，
即△PDE为等腰三角形．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．