Question

1．如图，直线L与⊙O相切于点D．过圆心O作EF∥L交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE、AF．并分别延长交直线L于 B、C两点．
（1）求证：∠ABC+∠ACB=90°；
（2）当⊙O的半径R=5，BD=12时，求tan∠ABC的值．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理可得∠EAF=90°，可证得结论；
（2）连接OD，过E作EH⊥BC，可知四边形EODH为正方形，在Rt△BEH中，可求得tan∠ABC．

解答 （1）证明：
∵EF是⊙O的半径，
∴∠EAF=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°；
（2）解：连接OD，则OD⊥BD，
过E作EH⊥BC，垂足为H，如图，

∴EH∥OD，
∵EF∥BC，OE=OD，
∴四边形EODH是正方形，
∴EH=HD=OD=5，
又∵BD=12，
∴BH=7，
在Rt△BEH中，tan∠ABC=$\frac{EH}{BH}$=$\frac{5}{7}$．

点评 本题主要考查切线的性质及正方形的判定和性质、三角函数的定义等知识，掌握切线垂直过切点的半径是解题的关键．