Question

6．已知：如图，直线y=kx+2与x轴正半轴相交于A（t，0），与y轴相交于点B，抛物线y=-x²+bx+c经过点A和点B，点C在第三象象限内，且AC⊥AB，tan∠ACB=$\frac{1}{2}$．
（1）当t=1时，求抛物线的表达式；
（2）试用含t的代数式表示点C的坐标；
（3）如果点C在这条抛物线的对称轴上，求t的值．

Answer 1

分析 （1）把点A（1，0），B（0，2）分别代入抛物线的表达式，解方程组即可；
（2）如图：作CH⊥x轴，垂足为点H，根据△AOB∽△CHA，得到$\frac{OA}{CH}$=$\frac{OB}{AH}$=$\frac{AB}{AC}$，根据tan∠ACB=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{2}$，得到$\frac{OA}{CH}$=$\frac{OB}{AH}$=$\frac{1}{2}$，根据OA=t，得到点C的坐标为（t-4，-2t）．
（3）根据点C（t-4，-2t）在抛物线y=-x²+bx+c的对称轴上，得到t-4=$\frac{b}{2}$，即b=2t-8，把点A（t，0）、B（0，2）代入抛物线的表达式，得-t²+bt+2=0，可知t²+（2t-8）t+2=0，即t²-8t+2=0，据此即可求出t的值．

解答 解：（1）∵t=1，y=kx+2，
∴A（1，0），B（0，2），
把点A（1，0），B（0，2）分别代入抛物线的表达式，得$\left\{\begin{array}{l}-1-b-c=0\\ c=2\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}b=-1\\ c=2\end{array}\right.$，
∴所求抛物线的表达式为y=-x²-x+2．
（2）如图：作CH⊥x轴，垂足为点H，得∠AHC=∠AOB=90°，
∵AC⊥AB，
∴∠OAB+∠CAH=90°，
又∵∠CAH+∠ACH=90°，
∴∠OAB=∠ACH，
∴△AOB∽△CHA，
∴$\frac{OA}{CH}$=$\frac{OB}{AH}$=$\frac{AB}{AC}$，
∵tan∠ACB=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OA}{CH}$=$\frac{OB}{AH}$=$\frac{1}{2}$，
∵OA=t，OB=2，
∴CH=2t，AH=4，
∴点C的坐标为（t-4，-2t）．
（3）∵点C（t-4，-2t）在抛物线y=-x²+bx+c的对称轴上，
∴t-4=$\frac{b}{2}$，即b=2t-8，
把点A（t，0）、B（0，2）代入抛物线的表达式，得-t²+bt+2=0，
∴-t²+（2t-8）t+2=0，即t²-8t+2=0，
解得t=4+$\sqrt{14}$，
∵点C（t-4，-2t）在第三象限，
∴t=4+$\sqrt{14}$不符合题意，舍去，
∴t=4-$\sqrt{14}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及三角函数、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的性质等知识，难度较大．