Question

4．如图，在?ABCD中，E为边AB的中点，BD是对角线，AF∥DB交CB的延长线于F．若DE=BE，则四边形AFBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

Answer 1

分析 首先连接EF，由四边形BEDG是菱形，可得EG⊥BD，易证得AD⊥BD，又由AF∥BD，AD∥BC，即可得四边形AFBD是平行四边形，即可证得四边形AFBD是矩形．

解答 证明：作BG∥DE，连接EG，
∵DC∥AB，
∴四边形DEBG是平行四边形，
∵DE=BE，
∴四边形DEBG是菱形，
∵AD∥BC，AG∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AE=BE=CG=DF
∴四边形AEGD是平行四边形，
∴AD∥EG，
∵四边形BEDG是菱形，
∴BD⊥EG，
∴AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴四边形AFBD是矩形．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的性质以及全等三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．