Question

14．如图，在△ABC中，AB=BC，点D在AB的延长线上．
（1）利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）①作∠CBD的平分线BM ②作边BC上的中线AE，并延长AE交BM于点F．
（2）在（1）的基础上，连接CF，判断四边形ABFC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先作∠CBD的平分线BM，再作线段BC的垂直平分线得到BC的中点E，然后连结AE并延长交BM于F；
（2）先证明∠CBD=∠BAC，再证明△ACE≌△FEB得到AE=FE，然后利用对角线互相平分的四边形为平行四边形可判断四边形ABFC为平行四边形．

解答 解：（1）如图，BM、AF为所作；

（2）四边形ABFC为平行四边形．理由如下：
∵BM平分∠CBD，
∴∠DBM=∠CBM，
∵BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
而∠CBD=∠BAC+∠BCA，
∴∠CBD=∠BAC，
在△ACE和△FEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠FBE}\\{CE=BE}\\{∠AEC=∠FEB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△FEB，
∴AE=FE，
∵CE=BE，
∴四边形ABFC为平行四边形．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定．