Question

18．已知：如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．求证：△DEF≌△HFE．

Answer 1

分析 先根据直角三角形斜边上的中线性质得HE=$\frac{1}{2}$AC，HF=$\frac{1}{2}$AB，再判断DE和DF为△ABC的中位线得到DF=$\frac{1}{2}$AC，DE=$\frac{1}{2}$AB，则DF=HE，DE=HF，然后根据“SSS”判断△DEF≌△HFE．

解答 解：∵AH⊥BC，
∴∠AHB=∠AHC=90°，
∵E，F分别是AC，AB的中点，
∴HE═$\frac{1}{2}$AC，HF=$\frac{1}{2}$AB，
∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，
∴DE和DF为△ABC的中位线，
∴DF=$\frac{1}{2}$AC，DE=$\frac{1}{2}$AB，
∴DF=HE，DE=HF，
在△DEF和△HFE中
$\left\{\begin{array}{l}{EF=FE}\\{DE=HF}\\{DF=HE}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△HFE．

点评 本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．也考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线性质．