Question

13．如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，sin∠B=$\frac{4}{5}$，E点为BC边上的一个动点（不与B、C重合），过E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．
（1）当△ABE恰为直角三角形时，求BF：CG的值：
（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF与△CEG的周长之和是否是常数，请说明理由：
（3）设BE=x，△DEF的面积为y，试求出y关于x的函数关系式，并写出定义域．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的性质和相似三角形的判定即可解决问题．
（2）设BE=x，易证△BEF∽△BAM，根据相似三角形的性质可得BF=$\frac{3}{5}$x，EF=$\frac{4}{5}$x．易证△CEG∽△BAM，根据相似三角形的性质可得CG=6-$\frac{3}{5}$x，EG=8-$\frac{4}{5}$x，从而可得C_△BEF+C_△CEG=24．
（3）由（2）得：EF=$\frac{4}{5}$x，DG=11-$\frac{3}{5}$x，就可求出y和x之间的函数关系式．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，即BF∥CG，
∴△BEF∽△CEG．
当△ABE恰为直角三角形时，如图1：

∴BF：CG=BE：EC=3：7，
当△ABE恰为直角三角形时，如图2：

∴BF：CG=BE：EC=5；
（2）△BEF和△CEG的周长之和等于24，是常数．如图3：

理由：设BE=x，
∵AM⊥BC，AB=5，AM=4，
∴BM=$\sqrt{A{B}^{2}-A{M}^{2}}$=3．
∵AM⊥BC，EF⊥AB，
∴∠AMB=∠EFB=90°．
∵∠B=∠B，
∴△BEF∽△BAM，
∴$\frac{BF}{BM}=\frac{EF}{AM}=\frac{BE}{BA}$，
∴$\frac{BF}{3}=\frac{EF}{4}=\frac{x}{5}$，
∴BF=$\frac{3}{5}$x，EF=$\frac{4}{5}$x．
∵△BEF∽△CEG，△BEF∽△BAM，
∴△CEG∽△BAM，
∴$\frac{CE}{BA}=\frac{CG}{BM}=\frac{EG}{AM}$，
∴$\frac{10-x}{5}=\frac{CG}{3}=\frac{EG}{4}$，
∴CG=6-$\frac{3}{5}$x，EG=8-$\frac{4}{5}$x，
∴C_△BEF+C_△CEG=$\frac{3}{5}$x+$\frac{4}{5}$x+x+6-$\frac{3}{5}$x+8-$\frac{4}{5}$x+10-x=24．
（3）由（2）得：EF=$\frac{4}{5}$x，FG=DG=DC+CG=5+6-$\frac{3}{5}$x=11-$\frac{3}{5}$x，
∴y=$\frac{1}{2}$EF•DG=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{5}$x•（11-$\frac{3}{5}$x）=-$\frac{6}{25}$x²+$\frac{22}{5}$x（0＜x＜10）．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，运用相似三角形的性质是解决第（2）小题的关键．