Question

【题目】如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD、BC于点E、F，AC与EF交于点O，连结AF、CE．

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AB=3，AD=4，求菱形AFCE的边长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由矩形的性质得出AD∥BC，∠EAO=∠FCO，证明△AEO≌△CFO，得出AE=CF，证出四边形AFCE是平行四边形，再由对角线AC⊥EF，即可得出结论；

（2）设AF=CF=x，则BF=4-x，在Rt△ABF中，根据勾股定理得出方程，解方程即可．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠EAO=∠FCO，

∵EF是AC的垂直平分线，

∴AO=CO，∠EOA=∠FOC=90°，

在△AEO和△CFO中，

，

∴△AEO≌△CFO（ASA），

∴AE=CF，

∴四边形AFCE是平行四边形，

又∵AC⊥EF，

∴四边形AFCE是菱形；

（2）解：∵四边形AFCE是菱形，

∴AF=CF，

设AF=CF=x，则BF=4-x，

在Rt△ABF中，AF2=AB2+BF2，

即x2=32+（4-x）2，

解得 x=，

∴菱形AFCE的边长为．