Question

如图，正方形ABCD边长为4cm，M、N分别为BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）当MC=3时，求△AMN的面积．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）证明∠B=∠C，∠BAM=∠CMN即可解决问题．
（2）由Rt△ABM∽Rt△MCN，列出比例式求出CN的长度，运用勾股定理求出AM、MN的长度，问题即可解决．

解答：解：（1）∵四边形ABCD为正方形，且AM⊥MN，
∴∠B=∠AMN=∠C；
∴∠BAM+∠BMA=∠BMA+∠CMN，
∴∠BAM=∠CMN，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN．
（2）由题意得：AB=BC=4，而MC=3，
∴BM=4-3=1；
∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴

AB

MC

=

BM

CN

，
∴CN=

1×3

4

=

3

4

；
由勾股定理得：AM2=42+12=17，MN2=32+(

3

4

)2，
∴AM=

17

，MN=

3 17

4

，
∴△AMN的面积=

1

2

×

17

×

3 17

4

=

51

8

．

点评：该命题主要考查了相似三角形的判定及其性质、正方形的性质及其应用等几何知识点问题；解题的关键是灵活运用有关知识点来分析、判断、推理或解答．