Question

如图，顶点为A的抛物线y=a(x+2)²－4交x轴于点B（1，0），连接AB，过原点O作射线OM∥AB，过点A作AD∥x轴交OM于点D，点C为抛物线与x轴的另一个交点，连接CD．

（1）求抛物线的解析式、直线AB的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线OM运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．

问题一：当t为何值时△OPQ为等腰三角形；

问题二：当t为何值时，四边形CDPQ的面积最小？并求此时PQ的长．

 

Answer 1

解：（1）∴y= (x+2)²－4，或y= x²+x－；y=x—.

（2）问题一：、、

问题二：将y=0代入y=x²+x－，得x²+x－=0，解得x=1或－5.

∴C（－5，0）.∴OC=5.

∵OM∥AB， AD∥x轴，∴四边形ABOD是平行四边形.

∴AD=OB=1.∴点D的坐标是（－3，－4）.

∴S_△DOC=×5×4=10.

过点P作PN⊥BC，垂足为N.易证△OPN∽△BOH.

∴,即.∴PN=t.

∴四边形CDPQ的面积S=S_△DOC－S_△OPQ=10－×(5－2t )×t=t²－2 t +10.

∴当t=时，四边形CDPQ的面积S最小.

此时，点P的坐标是（－，－1），点Q的坐标是（－，0），

∴PQ==.