Question

已知：三角形纸片ABC中，∠C=90°，AB=12，BC=6，B′是边AC上一点，将三角形纸片折叠，使点B与B′重合，折痕与BC、AB分别相交于E、F
（1）求∠B的大小；
（2）设BE=x，B′C=y，试建立y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）当△AFB′是直角三角形时，求出x的值．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）运用直角三角形的边角关系求得∠B=60°．
（2）由题意得：B′E=BE=x，CE=6-x，由勾股定理得到y=

12x-36

，3≤x≤6．
（3）按照分类讨论的数学思想，分∠AFB′=90°、∠AB′F=90°两种情况来解析；借助（2）中得到的函数关系式即可解决问题．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AB=12，BC=6，
∴∠A=30°，∠B=90°-30°=60°．
（2）由题意得：B′E=BE=x，CE=6-x，
由勾股定理得：y²+（6-x）²=x²，
∴y²=12x-36，
∴y=

12x-36

，3≤x≤6．
（3）当△AFB′是直角三角形时，
若∠AFB′=90°，
则∠AB′F=90°-30°=60°，
∠FB′E=∠B=60°，
∴∠EB′C=180°-120°=60°，
∴∠B′EC=30°，EB′=2B′C，
即x=2y，2

12x-36

=x，
解得：x=24-12

3

或24+12

3

（舍去）．
若∠AB′F=90°，则∠EB′C=180°-90°-60°=30°，
此时，B′E=2CE，
即x=2（6-x），解得：x=4．
∴当△AFB′是直角三角形时，x的值等于24-12

3

或4．

点评：该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．