Question

【题目】在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．

提出问题：（1）求证：△PBQ∽△ABC；

深入探究：（2）若AC＝3，BC＝4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；

发散思维：（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC，AC满足关系式BC＝mAC，是否存在一个m的值使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．若存在，请直接写出m的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）则当BP＝时，△AQP面积最大，最大值为；（3）存在，m＝时，Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．

【解析】

（1）根据垂直的定义和已知条件可得∠PQB＝∠C，又∠B＝∠B，然后利用相似三角形的判定即可证出：△PBQ∽△ABC；

（2）设BP＝x，根据勾股定理求出AB，然后根据相似三角形的性质，列出比例式，分别用x表示出PQ、BQ和AQ，然后根据三角形的面积公式即可求出S△AQP与x的二次函数关系式，然后利用二次函数的顶点式求最值即可；

（3）根据全等的性质可得：AQ＝AC，AQ＝QB，从而得出AQ＝QB＝AC，然后根据勾股定理可得BC2＝3AC2，从而求出m的值.

（1）证明：∵PQ⊥AB，

∴∠PQB＝90°，

∴∠PQB＝∠C，又∠B＝∠B，

∴△PBQ∽△ABC；

（2）设BP＝x，

∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AB＝＝＝5，

∵△PBQ∽△ABC，

∴＝＝，即＝＝，

解得，PQ＝x，BQ＝x，

∴AQ＝5﹣x，

∴S△AQP＝×AQ×PQ

＝×（5﹣x）×x

＝﹣x2+x

＝﹣（x﹣）2+，

则当BP＝时，△AQP面积最大，最大值为；

（3）存在．

∵Rt△AQP≌Rt△ACP，

∴AQ＝AC，

∵Rt△AQP≌Rt△BQP，

∴AQ＝QB，

∴AQ＝QB＝AC，

在Rt△ABC中，由勾股定理得 BC2＝AB2﹣AC2

∴BC2＝（2AC）2﹣AC2，

则BC2＝3AC2，

∴BC＝AC，

∴m＝时，Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．