【题目】如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,OA=8,点D为对角线OB的中点,若反比例函数y=在第一象限内的图象与矩形的边BC交于点F,与矩形边AB交于点E,反比例函数图象经过点D,且tan∠BOA=
,设直线EF的表达式为y=k2x+b.
(1)求反比例函数表达式;
(2)直接写出直线EF的函数表达式_______;
(3)当x>0时,直接写出不等式k2x+b>的解集_____;
(4)将矩形折叠,使点O与点F重合,折痕与x轴正半轴交于点H,与y轴正半轴交于点G,直接写出线段OG的长______.
【答案】(1)y=;(2)y=﹣
x+5;(3)2<x<8;(4)
.
【解析】
(1)利用正切的定义计算出AB得到B点坐标为(8,4),根据中点坐标公式可得到D(4,2),然后利用待定系数法确定反比例函数表达式;(2)利用反比例函数图象上点的坐标特征可确定E、F坐标,然后利用待定系数法求直线EF的解析式即可;(3)在第一象限内,根据E、F坐标写出一次函数图象在反比例函数图象上上方所对应的自变量的范围即可;(4)连接GF,如图,设OG=t,则CG=4﹣t,利用折叠的性质得到GF=OG=t,则利用勾股定理得到22+(4﹣t)2=t2,然后解方程求出t即可得到OG的长.
(1)在Rt△AOB中,∵tan∠BOA==
,
∴AB=OA=
×8=4,
∵OA=8,
∴点A坐标为(8,0),
∴B点坐标为(8,4),
∵点D为对角线OB的中点,
∴,
,
∴点D坐标为(4,2),
把D(4,2)代入y=得k1=4×2=8,
∴反比例函数表达式为:y=.
(2)当x=8时,y==1,
解得:y=1,
∴E(8,1),
当y=4时,=4,
解得:x=2,
∴F(2,4),
把E(8,1),F(2,4)代入y=k2x+b得,
解得,
所以直线EF的解析式为:y=﹣x+5.
故答案为:y=﹣x+5
(3)∵E(8,1),F(2,4),
∴不等式k2x+b>的解集为2<x<8.
故答案为:2<x<8
(4)如图,连接GF,设OG=t,则CG=4﹣t,
∵将矩形折叠,使点O与点F重合,
∴GF=OG=t,
∵F(2,4),
∴CF=2,
在Rt△CGF中,GF2=CG2+CF2,即22+(4﹣t)2=t2,
解得:t=,
∴OG的长为.
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【题目】如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,过点D作DE∥AC,且DE=AC,连接CE、OE,连接AE,交OD于点F,若AB=2,∠ABC=600,则AE的长为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】在Rt△ABC中,∠C=90°,P是BC边上不同于B、C的一动点,过P作PQ⊥AB,垂足为Q,连接AP.
提出问题:(1)求证:△PBQ∽△ABC;
深入探究:(2)若AC=3,BC=4,当BP为何值时,△AQP面积最大,并求出最大值;
发散思维:(3)在Rt△ABC中,两条直角边BC,AC满足关系式BC=mAC,是否存在一个m的值使Rt△AQP既与Rt△ACP全等,也与Rt△BQP全等.若存在,请直接写出m的值,若不存在,说明理由.
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【题目】如图,抛物线与x轴交于点
,点
,与y轴交于点C,且过点
.点P、Q是抛物线
上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P在直线OD下方时,求面积的最大值.
(3)直线OQ与线段BC相交于点E,当与
相似时,求点Q的坐标.
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【题目】如图,已知抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0)
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.
(3)点M是抛物线在第一象限内图像上的任意一点,求当BCM的面积最大时点M的坐标.
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【题目】如图,点A,B在反比例函数y=(x>0)的图象上,点C,D在反比例函数y=
(k>0)的图象上,AC∥BD∥y轴,已知点A,B的横坐标分别为1,2,△OAC与△ABD的面积之和为
,则k的值为_____.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,BM平分∠ABC交AE于点M,经过B、M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.
(1)判断AE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若BC=6,AC=4CE时,求⊙O的半径.
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【题目】如图,PA、PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,分别交PA、PB于点C、D.若PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0的两个根,求△PCD的周长.
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