【题目】如图,已知抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0)
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.
(3)点M是抛物线在第一象限内图像上的任意一点,求当BCM的面积最大时点M的坐标.
【答案】(1)m=2,顶点坐标为(1,4);(2)点P(1,2);(3)
【解析】
(1)将点B的坐标为(3,0)代入解析式中,即可求得m的值,然后利用顶点坐标公式求得抛物线的顶点坐标;
(2)根据A、B关于抛物线的对称轴对称,先连接BC交抛物线对称轴于点P,则此时PA+PC的值最小,然后利用待定系数法求得直线BC的解析式,从而求出P点坐标;
(3)过M点作MD⊥x轴交BC与点D,利用M、D所在的图像设出坐标,再利用“铅垂高水平宽”求出面积与坐标的关系,最后利用顶点坐标求最值即可.
解:(1)将点B的坐标为(3,0)代入解析式中得:
解得:m=2
故抛物线的解析式为:
顶点坐标的横坐标为:,代入解析式中得y=4
∴抛物线的顶点坐标为:(1,4);
(2)∵根据A、B关于抛物线的对称轴对称
∴连接BC交抛物线对称轴于点P,则此时PA+PC的值最小,
将x=0代入到中,得:
∴点C的坐标为(0,3)
设直线BC的解析式为:y=kx+b,
将B、C的坐标分别代入得:
解得:
所以直线BC的解析式为:y=-x+3
将x=1代入到y=-x+3得:y=2
∴P点坐标为(1,2)
(3)过M点作MD⊥x轴交BC与点D,设M的坐标为,D的坐标为,C到MD的距离为h1,B到MD的距离为h2,由图可知h1+ h2=OB=3
∴MD=
∴SBCM=SDCM+SBDM=
∵
∴当时,SBCM有最大值,
将代入中,得:,
故当BCM的面积最大时点M的坐标为:
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【题目】某地要建一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA,O恰在水面中心,安装在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.如图建立平面直角坐标系,已知A(),顶点P()
(1) 求抛物线的解析式
(2) 若不计其他因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不至于落在池外
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【题目】如图,已知点A、B在双曲线y=(m>0)上,点C、D在双曲线y=(n<0)上,AC∥BD∥y轴,AC=3,BD=4,AC与BD的距离为7,则m﹣n的值为_____.
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【题目】为更精准地关爱留守学生,某学校将留守学生的各种情形分成四种类型:A.由父母一方照看;B.由爷爷奶奶照看;C.由叔姨等近亲照看;D.直接寄宿学校.某数学小组随机调查了一个班级,发现该班留守学生数量占全班总人数的20%,并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图.
(1)该班共有 名留守学生,B类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为 ;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)已知该校共有2400名学生,现学校打算对D类型的留守学生进行手拉手关爱活动,请你估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益?
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【题目】如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,OA=8,点D为对角线OB的中点,若反比例函数y=在第一象限内的图象与矩形的边BC交于点F,与矩形边AB交于点E,反比例函数图象经过点D,且tan∠BOA=,设直线EF的表达式为y=k2x+b.
(1)求反比例函数表达式;
(2)直接写出直线EF的函数表达式_______;
(3)当x>0时,直接写出不等式k2x+b>的解集_____;
(4)将矩形折叠,使点O与点F重合,折痕与x轴正半轴交于点H,与y轴正半轴交于点G,直接写出线段OG的长______.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=x+b的图象经过点A(-2,0),与反比例函数 的图象交于B(a,4).
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)根据图像,写出不等式的解集;
(3)设M是直线上一点,过M作MN∥x轴,交反比例函数的图象于点N,若点M的横坐标为m,且MN=4,求m的值.
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【题目】[探索发现]有张形状为直角三角形的纸片,小俊同学想用些大小不同的圆形纸片去覆盖这张三角形纸片,经过多次操作发现,如图1,以斜边AB为直径作圆,刚好是可以把Rt△ABC覆盖的面积最小的圆,称之为最小覆盖圆.
[理解应用]
我们也可以用一些大小不同的圆覆盖锐角三角形和钝角三角形,请你通过操作探究解决下列问题
(1)如图2.在中,∠A=105°,试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆(不写作法,保留作图痕迹).
(2)如图3,在中,∠A=80°,∠B=40°,AB=,请求出△ABC的最小覆盖圆的半径
[拓展延伸]
(3)如图4,在中,己知AB=15,AC=12,BC=9,半径为1的在的内部任意运动,则覆盖不到的面积是
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【题目】如图,菱形ABCD的边AB=20,面积为320,∠BAD<90°,⊙O与边AB,AD都相切,AO=10,则⊙O的半径长等于( )
A.5 B.6 C.2 D.3
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