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【题目】如图,已知抛物线x轴交于AB两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(30

1)求m的值及抛物线的顶点坐标.

2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.

3)点M是抛物线在第一象限内图像上的任意一点,求当BCM的面积最大时点M的坐标.

【答案】1m=2,顶点坐标为(14);(2)点P12);(3

【解析】

1)将点B的坐标为(30)代入解析式中,即可求得m的值,然后利用顶点坐标公式求得抛物线的顶点坐标;

2)根据AB关于抛物线的对称轴对称,先连接BC交抛物线对称轴于点P,则此时PA+PC的值最小,然后利用待定系数法求得直线BC的解析式,从而求出P点坐标;

3)过M点作MDx轴交BC与点D,利用MD所在的图像设出坐标,再利用“铅垂高水平宽”求出面积与坐标的关系,最后利用顶点坐标求最值即可.

解:(1)将点B的坐标为(30)代入解析式中得:

解得:m=2

故抛物线的解析式为:

顶点坐标的横坐标为:,代入解析式中得y=4

∴抛物线的顶点坐标为:(1,4);

(2)∵根据AB关于抛物线的对称轴对称

∴连接BC交抛物线对称轴于点P,则此时PA+PC的值最小,

将x=0代入到中,得:

∴点C的坐标为(03

设直线BC的解析式为:y=kx+b,

将B、C的坐标分别代入得:

解得:

所以直线BC的解析式为:y=-x+3

将x=1代入到y=-x+3得:y=2

∴P点坐标为(1,2)

(3)过M点作MDx轴交BC与点D,设M的坐标为D的坐标为CMD的距离为h1BMD的距离为h2,由图可知h1+ h2=OB=3

MD=

SBCM=SDCM+SBDM=

∴当时,SBCM有最大值,

代入中,得:

故当BCM的面积最大时点M的坐标为:

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2)直接写出直线EF的函数表达式_______

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