Question

【题目】[探索发现]有张形状为直角三角形的纸片，小俊同学想用些大小不同的圆形纸片去覆盖这张三角形纸片，经过多次操作发现，如图1,以斜边AB为直径作圆，刚好是可以把Rt△ABC覆盖的面积最小的圆，称之为最小覆盖圆.

[理解应用]

我们也可以用一些大小不同的圆覆盖锐角三角形和钝角三角形，请你通过操作探究解决下列问题

(1)如图2.在中，∠A=105°，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆(不写作法，保留作图痕迹).

（2）如图3,在中，∠A=80°，∠B=40°，AB=，请求出△ABC的最小覆盖圆的半径

[拓展延伸]

（3）如图4,在中，己知AB=15，AC=12,BC=9，半径为1的在的内部任意运动，则覆盖不到的面积是

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）r=2；（3）.

【解析】

（1）由题意，这个三角形的最小覆盖圆就是三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心在每条边的垂直平分线上，又因三角形的三条垂直平分线必交于一点，故只需作两条边的垂直平分线，其交点即为圆心O，连接OC，则OC为半径，画图（见解析）即可；

（2）如图（见解析），的最小覆盖圆为的外接圆，由已知条件可得，则圆心角；连接OA、OB，过O作，由等腰三角形的性质可得，在中利用勾股定理求解即可；

（3）由已知条件可是直角三角形，利用的面积减去圆的面积即可得.

（1）由题意，这个三角形的最小覆盖圆就是三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心在每条边的垂直平分线上，又因三角形的三条垂直平分线必交于一点，故只需作两条边的垂直平分线，其交点即为圆心O，连接OC，则OC为半径，画图如下：

（2）如图，的最小覆盖圆为的外接圆

连接OA、OB，过O作

（圆周角定理）

，则是等腰三角形

在中，

由勾股定理得：

解得：

故的最小覆盖圆的半径为2；

（3）

是直角三角形

又

故所求的面积为.