Question

如图，在平面直角坐标坐标系中，菱形OABC的顶点C的坐标为（6，0），cos∠AOC=

2

3

，反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象经过菱形顶点A，且交BC边于点D．
（1）求反比例函数的解析式，并直接写出顶点B的坐标；
（2）猜想点D是否为BC的中点，并说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）作AE⊥OC于点E，在直角△OAE中利用三角函数以及勾股定理求得OE和AE的长，即可求得A的坐标，利用待定系数即可求得反比例函数解析式，求得B的坐标；
（2）求得BC的中点坐标，代入反比例函数解析式即可判断．

解答：解：（1）作AE⊥OC于点E．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=OC=6，
又∵cos∠AOC=

OE

OA

=

2

3

，
∴OE=

2

3

OA=

2

3

×6=4，
在直角△OAE中，AE=

OA2-OE2

=

62-42

=2

5

，
则A的坐标是（4，2

5

），代入y=

k

x

，得：k=8

5

．
则反比例函数的解析式是：y=

8 5

x

．
B的坐标是（10，2

5

）；
（2）BC的中点的坐标是（8，

5

）．
把x=8，y=

5

代入y=

8 5

x

成立，
则BC的中点在反比例函数的图象上，即D是BC的中点．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式以及三角函数、菱形的性质，求得A的坐标是关键．