Question

20．如图，已知抛物线y=ax²+bx=3与y轴交于点A，与x轴交于点B（-1，0）和点C（3，0）．
（1）求抛物线的表达式和对称轴；
（2）设抛物线的对称轴与直线AC交于点D，连接AB、BD，求△ABD的面积；
（3）点M为抛物线上一动点，过点M作y轴的平行线MN，与直线AC交于点N．问在抛物线上是否存在点M，使得以D、N、M为顶点的三角形与△ACO相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点B（-1，0）和点C（3，0）分别代入y=ax²+bx+3求出a和b的值，可求出抛物线解析式，进而可求出其对称轴方程；
（2）利用已知条件易求△ABC和△BCD的面积，由S_△ABD=S_△ABC-S_△DBC计算即可；
（3）在抛物线上存在点M，使得以D、N、M为顶点的三角形与△ACO相似，首先证得Rt△AOC为等腰直角三角形，所以∠OAC=∠OCA=45°，则以D、M、N为顶点的三角形也必须是等腰直角三角形．由MN∥OA得∠MND=∠OAC=45°，故以D、M、N为顶点的直角三角形只能以点D或M为直角顶点，再分两种情况：①当M为直角顶点时，DM⊥MN，此时△DMN∽△COA；②当D为直角顶点时，DM⊥AC，此时△DMN∽△OCA，分别讨论求出符合题意的点M的坐标即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3经过B（-1，0）和C（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的表达式为y=-x²+2x+3，
∴对称轴为直线x=1，
（2）令x=0得：y=3，
∴A（0，3），
设AC的解析式为y=kx+b将A（0，3）、C（3，0）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=2，
∴D（1，2），
∴S_△ABD=S_△ABC-S_△DBC=$\frac{1}{2}$×4×3-$\frac{1}{2}$×4×4=2；
（3）假设存在点M，使得以D、M、N为顶点的三角形与△AOC相似．
在Rt△AOC中，
∵OA=OC=3，
∴Rt△AOC为等腰直角三角形，
∴∠OAC=∠OCA=45°，则以D、M、N为顶点的三角形也必须是等腰直角三角形．
由MN∥OA得∠MND=∠OAC=45°，故以D、M、N为顶点的直角三角形只能以点D或M为直角顶点．
①当M为直角顶点时，DM⊥MN，此时△DMN∽△COA，
∴DM所在的直线为y=2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
解得x=1±$\sqrt{2}$，
∴M（1-$\sqrt{2}$，2）或M（1+$\sqrt{2}$，2）；
②当D为直角顶点时，DM⊥AC，此时△DMN∽△OCA，
∵D在对称轴上，
∴DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB=45°，
∴∠BDC=90°，
∴BD⊥AC，
故M在直线BD上，
设BD的解析式为y=kx+b，将B、D的坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴BD的解析式为y=x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
解得：x=-1或2，
将x=-1代入y=x+1，得y=0，
∴M（-1，0），
将x=2代入y=x+1，得y=3，
∴M（2，3），
综上所述，在抛物线．存在点M，使得以D、N、M为顶点的三角形与△ACO相似，点M的坐标为（1-$\sqrt{2}$，2），（1+$\sqrt{2}$，2），（-1，0），（2，3）．

点评 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、函数图象交点的问、等腰直角三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法，题目的综合性较强，难度较大，对学生的综合解题能力要求很高，是一道不错的中考压轴题．