Question

12．如图，在正方形ABCD中，延长对角线CA到点E，以AE为边作正方形AEFG，连接BG、DE．
（1）求证：△ABG≌△ADE；
（2）当AB=$\sqrt{2}$，AG=3时，求线段BG的长度．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是正方形，得到AB=AD，∠BAD=90°，根据四边形AEFG是正方形，得到AE=AG，∠EAG=90°，于是得到∠BAD=∠EAG，证得∠BAG=∠DAE，于是得到结论；
（2）如图，连接BD交AC于点H，根据四边形ABCD是正方形，于是得到AH=DH，∠AHD=90°，由于$AD=AB=\sqrt{2}$，求出AH=DH=1，在Rt△EHD中，由勾股定理得：$ED=\sqrt{E{H^2}+D{H^2}}=\sqrt{17}$，又由（1）△ABG≌△ADE得到BG=ED，于是结论可得．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵四边形AEFG是正方形，
∴AE=AG，∠EAG=90°，
∴∠BAD=∠EAG，
∴∠BAD+∠DAG=∠EAG+∠DAG，
∴∠BAG=∠DAE，
在△ABG与△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠BAG=∠DAE}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADE（SAS）；

（2）解：如图，连接BD交AC于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AH=DH，∠AHD=90°，
又∵$AD=AB=\sqrt{2}$，
∴AH=DH=1，
又∵四边形AEFG是正方形，
∴AE=AG=3，
∴EH=AE+AH=4，
在Rt△EHD中，由勾股定理，得：$ED=\sqrt{E{H^2}+D{H^2}}=\sqrt{17}$，
又由（1）△ABG≌△ADE，
∴BG=ED，
∴$BG=\sqrt{17}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，证得△ABG≌△ADE是解题的关键．