Question

12．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点P在直线BC上运动，并且PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，请在以下不同图形中讨论：线段PD，PE，CF之间存在什么数量关系？证明你的观点，在讨论过程中，你发现了什么规律，能用一句话概括出来吗？

Answer 1

分析 连接AP，当点P在底边BC上时，根据等腰三角形的性质可表示出S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP=$\frac{1}{2}$×AC×（PD+PE），同时可表示出S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC×BF，从而可得到PD+PE=BF．，当点P在底边的延长线上时，根据S_△APB=S_△ABC+S_△ACP进行推理，证法同（1）．

解答 解：①如图1，连接AP．

∵AB=AC，
∴S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP=$\frac{1}{2}$AB×PD+$\frac{1}{2}$AC×PE=$\frac{1}{2}$×AB×（PD+PE），
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×CF，
∴PD+PE=CF．
②如图2，连接AP
∵AB=AC，
∴S_△APB=S_△ABC+S_△ACP=$\frac{1}{2}$AB×CF+$\frac{1}{2}$AC×PE=$\frac{1}{2}$×AB×（CF+PE），
∵S_△APB=$\frac{1}{2}$AB×PD，
∴CF+PE=PD，即PD-PE=CF；
③如图3，连接AP，
∵AB=AC，
∴S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP=$\frac{1}{2}$AB×PD+$\frac{1}{2}$AC×PE=$\frac{1}{2}$×AB×（PD+PE），
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×CF，
∴PD+PE=CF．
④如图4，连接AP，
∵AB=AC，
∴S_△APB=S_△ABC+S_△ACP=$\frac{1}{2}$AB×CF+$\frac{1}{2}$AC×PE=$\frac{1}{2}$×AB×（CF+PE），
∵S_△APB=$\frac{1}{2}$AB×PD，
∴CF+PE=PD，即PD-PE=CF；
⑤如图5，连接AP，
∵AB=AC，
∴S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP=$\frac{1}{2}$AB×PD+$\frac{1}{2}$AC×PE=$\frac{1}{2}$×AB×（PD+PE），
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×CF，
∴PD+PE=CF．
⑥如图6，连接AP，
∵AB=AC，
∴S_△APB=S_△ABC+S_△ACP=$\frac{1}{2}$AB×CF+$\frac{1}{2}$AC×PE=$\frac{1}{2}$×AB×（CF+PE），
∵S_△APB=$\frac{1}{2}$AB×PD，
∴CF+PE=PD，即PD-PE=CF；
得出规律：，无论等腰三角形是锐角三角形、钝角三角形或直角三角形，
当点P在等腰三角形的地边上时，点P到两腰的距离之和等于一腰上的高；
当点P在底边的延长线上时，点P到两腰的距离之差等于一腰上的高．

点评 此题主要考查等腰三角形的性质及三角形面积的综合运用，此题的关键是利用面积公式将所求联系在一起．