Question

【题目】(1)如图1，AB∥CD，∠PAB=120°，∠PCD=110°，求∠APC的度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作PE∥AB，请你接着完成解答；如图3，点A、B在射线OM上，点C、D在射线ON上，AD∥BC，点P在射线OM上运动（点P与A、B、O三点不重合）．

(2)当点P在线段AB上运动时，判断∠CPD与∠ADP、∠BCP之间的数量关系，并说明理由；

(3)当点P在线段AB外运动时，判断∠CPD与∠ADP、∠BCP之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠APC=130°；（2）∠CPD=∠ADP+∠BCP；（3）∠CPD=∠ADP-∠BCP；∠CPD=∠BCP-∠ADP.

【解析】

（1）过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC=130°；
（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠ADP =∠DPE，∠BCP =∠CPE，即可得出答案；
（3）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠ADP =∠DPE，∠BCP=∠CPE，即可得出答案．

解：（1）过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=180°-∠PAB =60°，∠CPE=180°-∠PCD =70°，
∴∠APC=60°+70°=130°；
（2）∠CPD=∠ADP+∠BCP，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠ADP =∠DPE，∠BCP =∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠ADP+∠BCP；

（3）当P在BA延长线时，∠CPD=∠BCP-∠ADP；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠ADP =∠DPE，∠BCP =∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠BCP-∠ADP；

当P在BO之间时，∠CPD=∠ADP-∠BCP．
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠ADP =∠DPE，∠BCP =∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠ADP-∠BCP．

故答案为：（1）∠APC=130°；（2）∠CPD=∠ADP+∠BCP；（3）当P在BA延长线时，∠CPD=∠BCP-∠ADP；当P在BO之间时，∠CPD=∠ADP-∠BCP．