Question

15．如图所示，梯形ABCD中，已知：AD∥BC，∠ABC=∠DCB，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE=∠ABD．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若△ADF的面积是2cm²，且BC=3AD，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据梯形的性质和已知证明四边形ABCD为等腰梯形，根据等腰梯形的性质证明△ABD≌△DCA，得到∠ABD=∠DCA，根据平行线的判定定理证明结论；
（2）根据相似三角形的性质求出$\frac{DF}{BF}$、$\frac{AF}{CF}$的值，根据三角形的面积公式和相似三角形的性质求出梯形ABCD的面积．

解答 解：∵AD∥BC，∠ABC=∠DCB，
∴四边形ABCD为等腰梯形，
∴AB=CD，AC=BD，
在△ABD和△DCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{AC=DB}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DCA，
∴∠ABD=∠DCA，又∠CDE=∠ABD，
∴∠DCA=∠CDE，
∴AC∥DE，
又∵AD∥BC，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）∵AD∥BC，
∴△ADF∽△CBF，
∴$\frac{DF}{BF}$=$\frac{AF}{CF}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∵△ADF的面积是2cm²，
∴△ABF的面积是6cm²，△DCF的面积是6cm²，△BCF的面积是18cm²，
∴梯形ABCD的面积为2+6+6+18=32cm²．

点评 本题考查的是梯形的性质、等腰梯形的判定和性质、平行四边形的判定和相似三角形的性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．