【题目】已知,与两角的角平分线交于点,是射线上一个动点,过点的直线分别交射线,,于点,,.
(1)如图1,若,,,求的度数;
(2)如图2,若,请探索与的数量关系,并证明你的结论;
(3)在点运动的过程中,请直接写出,与这三个角之间满足的数量关系:_________________________________.
【答案】(1);(2),证明详见解析;(3)或
【解析】
(1)根据角平分线的性质结合三角形外角的性质即可求解;
(2)设,,根据角平分线的性质结合四边形内角和定理即可求解;
(3)分点P在线段BD上和点P在线段BD的延长线上两种情况讨论即可求解.
(1)∵PA、PB是∠BAM、∠ABN的角平分线,
∴∠BAP=∠PAE=∠BAM=,
∠ABP=∠PBE=∠ABN=,
∴∠BPC=∠BAP+∠ABP=;
(2),理由如下:
∵PA、PB是∠BAM、∠ABN的角平分线,
∴设,,
∵,
∴,
∵,
∴,
又∵,
∴,
∴;
(3)∵PA、PB是∠BAM、∠ABN的角平分线,
∴设,,
∵,
∴,
如图,当点P在线段BD上时,
,
∴;
如图,当点P在线段BD的延长线上时,
,即,
∴,
即;
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点E是BC的中点,动点P从A点出发,先以每秒2cm的速度沿A→C运动,然后以1cm/s的速度沿C→B运动.若设点P运动的时间是t秒,那么当t=_______,△APE的面积等于8.
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【题目】如图,在RT△ABC中,∠ACB=90°,∠B=35°,CD⊥AB,垂足为点D,
(1)求∠ACD的度数;
(2)找出图中相等的角,并说明理由.
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【题目】科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.
如图所示,图中点的横坐标x表示科技馆从8:30开门后经过的时间(分钟),纵坐标y表示到达科技馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为y=,10:00之后来的游客较少可忽略不计.
(1)请写出图中曲线对应的函数解析式;
(2)为保证科技馆内游客的游玩质量,馆内人数不超过684人,后来的人在馆外休息区等待.从10:30开始到12:00馆内陆续有人离馆,平均每分钟离馆4人,直到馆内人数减少到624人时,馆外等待的游客可全部进入.请问馆外游客最多等待多少分钟?
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【题目】“品中华诗词,寻文化自信”.某校组织全校1000名学生举办了第二届“中华诗词大赛”的初赛,从中抽取部分学生的成绩统计后,绘制了如下不完整的频数分布统计表与频数分布直方图.
频数分布统计表
组别 | 成绩(分) | 人数 | 百分比 |
8 | 20% | ||
16 | |||
30% | |||
4 | 10% |
频数分布直方图
请观察图表,解答下列问题:
(1)表中__________,__________;
(2)补全频数分布直方图;
(3)如果成绩达到90及90分以上者为优秀,可推荐参加决赛,那么请你估计该校进入决赛的学生大约有多少人?
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【题目】如图, AB=CB, BD=BE, ∠ABC=∠DBE=a.
(1)当a=60°, 如图①则,∠DPE的度数______________
(2)若△BDE绕点B旋转一定角度,如图②所示,求∠DPE(用a表示)
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【题目】我们知道,任意一个有理数与无理数的和为无理数,任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数,而零与无理数的积为零.由此可得:如果mx+n=0,其中m、n为有理数,x为无理数,那么m=0且n=0.
(1)如果,其中a、b为有理数,那么a= ,b= .
(2)如果,其中a、b为有理数,求a+2b的值.
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【题目】某商店欲购进一批跳绳,若购进种跳绳根和种跳绳根,则共需元;若购进种跳绳根和种跳绳根,则共需元.
(1)求、两种跳绳的单价各是多少?
(2)若该商店准备购进这两种跳绳共根,且种跳绳的数量不少于跳绳总数量的.若每根种、种跳绳的售价分别为元、元,问:该商店应如何进货才可获取最大利润,并求出最大利润.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠BAD=60°.动点E、F分别从点B、D同时出发,以1cm/s的速度向点A、C运动,连接AF、CE,取AF、CE的中点G、H,连接GE、FH.设运动的时间为ts(0<t<4).
(1)求证:AF∥CE;
(2)当t为何值时,四边形EHFG为菱形;
(3)试探究:是否存在某个时刻t,使四边形EHFG为矩形,若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由.
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