Question

如图，已知AB为半圆O的直径，直线MN切半圆于点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，BE交半圆于点F，AD=3cm，BE=7cm．
（1）求⊙O的半径；
（2）求线段DE的长．

Answer 1

考点：切线的性质,梯形中位线定理

专题：

分析：（1）连结OC，根据切线的性质求得OC⊥MN，进而求得AD∥OC∥BE，从而根据梯形中位线的性质即可求得；
（2）连结AF，先求得四边形ADEF为矩形，然后根据勾股定理即可求得线段DE的长．

解答：解：（1）连结OC
∵MN切半圆于点C
∴OC⊥MN
∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴AD∥OC∥BE
∵OA=OB
∴OC为梯形ADEB的中位线
∴OC=

1

2

（AD+BE）=5cm
所以⊙O的半径为5cm
（2）连结AF，
∵AB为半圆O的直径
∴∠AFB=90°．
∴∠AFE=90°
又∠ADE=∠DEF=90°
∴四边形ADEF为矩形
∴DE=AF，AD=EF=3cm
在Rt△ABF中，BF=BE-EF=4cm，AB=2OC=10cm，
∵AF=

AB2-BF2

=

102-42

=2

21

∴DE=2

21

cm．

点评：本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理以及勾股定理的应用等，证得OC是梯形的中位线是本题的关键．