Question

设a、b是方程x²+2px+3=0的两个实数根，c、d是方程x²+2qx+3=0的两个实数根，e、f是方程x²+2（p²-q²）x+3=0的两个实数根，则

(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)

e+f

的值为

 

．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：

分析：首先运用根与系数的关系列出有关a、b、c、d、e、f的7个等式，然后将所给的代数式恒等变形，进而化简求值问题即可解决．

解答：解：∵a、b是方程x²+2px+3=0的两个实数根，c、d是方程x²+2qx+3=0的两个实数根，
e、f是方程x²+2（p²-q²）x+3=0的两个实数根，∴a+b=-2p，ab=3，c+d=-2q，cd=3
e+f=-2（p²-q²）；（a-c）（b-c）（a+d）（b+d）=（ab+ad-bc-cd）（ab+bd-ac-cd）
=（ad-bc）（bd-ac）=abd²-cda²-cdb²+abc²=3d²-3a²-3b²+3c²
=3（c²+d²）-3（a²+b²）
∵c²+d²=（c+d）²-2cd=4q²-6，a²+b²=（a+b）²-2ab=4p²-6
∴（a-c）（b-c）（a+d）（b+d）=12q²-18-12p²+18=-12（p²-q²）
∴

(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)

e+f

=

-12(p2-q2)

-2(p2-q2)

=6
故所给代数式的值为6

点评：考查了根与系数的关系，是中学数学中的重要基础知识之一，是进行与根式有关的代数式化简与求值的基础和工具；而灵活将所给的代数式恒等变形又是解题的关键．