Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物线经过B、C两点，与y轴的另一个交点为点A，P为线段BC上一个动点不与点B、点C重合．

求抛物线的解析式；

设抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、PD，当为直角三角形时，求点P的坐标；

过点C作轴，交抛物线于点E，如图2，求的最小值．

Answer 1

【答案】抛物线的解析式为；点P的坐标为或；的最小值为10．

【解析】

利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B、C的坐标，根据点B、C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

根据抛物线的解析式可得出抛物线的对称轴及点D的坐标，设点P的坐标为过点P作轴于Q，则点，分及两种情况考虑：当时，易证∽，利用相似三角形的性质即可求出点P的坐标；当时，通过解直角三角形可求出DQ、PQ的长度，进而可得出点P的坐标此问得解；

连接AE，交BC于点F，在的内部作，BH与AE交于点H，过点P作，垂足为R，连接PE，则，进而可得出，利用抛物线的对称性可得出，进而可得出，利用点到直线之间垂线段最短可得出当且仅当点P与点F重合时，等号成立，利用勾股定理及解直角三角形可求出AE、AH的长度，代入即可找出的最小值，进而可得出的最小值．

直线与x轴交于B点，与y轴交于C点，

点B的坐标为，点C的坐标为

抛物线经过B、C两点，

，解得：，

抛物线的解析式为．

抛物线的解析式为，

抛物线的对称轴为直线，

点D的坐标为．

设点P的坐标为过点P作轴于Q，则点．

当时，如图3，

，，

，

∽，

，即，

解得：，

点P的坐标为；

当时，如图4，

，，

，

，

，，

，，

，

点P的坐标为

综上所述，点P的坐标为或

连接AE，交BC于点F，在的内部作，BH与AE交于点H，过点P作，垂足为R，连接PE，如图5所示．

，

，

．

点C与点E、点A与点B均关于直线对称，

，，

，

，当且仅当点P与点F重合时，等号成立．

，，对称轴为直线，

，且点A的坐标为，

，

，即的最小值为5，

的最小值为10．