Question

13．（1）在△ABC中，∠A-∠B=90°．试判定△ABC的形状；
（2）在△ABC中，AC=5，中线AD=7，求AB边的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由∠A-∠B=90°，可得∠A＞90°，再根据三角形内角和定理可证出∠A＜180°，进而可得三角形是钝角三角形．
（2）延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．

解答 解：（1）△ABC为钝角三角形，
∵∠A-∠B=90°，
∴∠A＞90°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A＜180°，
∴90°＜∠A＜180°，
∴△ABC是钝角三角形；

（2）如图，延长AD至E，是DE=AD，连接CE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}\\{∠ADE=∠EDC}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=CE，DE=AD=7，
∵AC=5，
∴14-5＜EC＜14+5，
∴9＜EC＜19．
∴9＜AB＜19，
故答案为：9＜AB＜19．

点评 此题主要考查了三角形的内角，三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．