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【题目】已知,在ABC中,∠BAC=90°,ABC=45°,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边作正方形ADEF,连接CF.

(1)如图1,当点D在线段BC上时.求证:CF+CD=BC;

(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;

(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A,F分别在直线BC的两侧,其他条件不变;

①请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;

②若正方形ADEF的边长为2,对角线AE,DF相交于点O,连接OC.求OC的长度.

【答案】(1)证明见解析;(2)CF-CD=BC;(3)CD-CF=BC;2.

【解析】试题分析:(1)、根据正方形的性质判定出△BAD△CAF全等,从而得出BD=CF,根据BD+CD=BC得出答案;(2)、根据图形得出线段之间的关系;(3)、首先根据正方形的性质证明△BAD△CAF全等,然后得出∠ACF=∠ABD=135°,从而说明△FCD为直角三角形,根据正方形的对角线得出DF的长度,然后根据直角三角形斜边上的中线的性质得出OC的长度.

试题解析:(1)∵∠BAC=90°∠ABC=45°∴∠ACB=∠ABC=45°∴AB=AC

四边形ADEF是正方形,∴AD=AF∠DAF=90°

∵∠BAD=90°-∠DAC∠CAF=90°-∠DAC∴∠BAD=∠CAF

则在△BAD△CAF中,∴△BAD ≌ △CAFSAS),∴BD=CF

∵BD+CD=BC∴CF+CD=BC

(2)CFCD=BC

(3)①CDCF =BC

②∵∠BAC=90°∠ABC=45°∴∠ACB=∠ABC=45°∴AB=AC四边形ADEF是正方形,

∴AD=AF∠DAF=90°∵∠BAD=90°-∠BAF∠CAF=90°-∠BAF∴∠BAD=∠CAF

则在△BAD△CAF中,∴△BAD ≌ △CAFSAS),

∴∠ABD=∠ACF∵∠ABC=45°∠ABD=135°∴∠ACF=∠ABD=135°

∴∠FCD=90°∴△FCD是直角三角形. 正方形ADEF的边长为且对角线AEDF相交于点O

∴DF=AD=4ODF中点. ∴OC=DF=2

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