【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2﹣2x+3与轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.
(1)求直线AC的解析式,并直接写出D点的坐标.
(2)如图1,在直线AC的上方抛物线上有一动点P,过P点作PQ垂直于x轴交AC于点Q,PM∥BD交AC于点M.
①求△PQM周长最大值;
②当△PQM周长取得最大值时,PQ与x轴交点为H,首位顺次连接P、H、O、D构成四边形,它的周长为L,若线段OH在x轴上移动,求L最小值时OH移动的距离及L的最小值.
(3)如图2,连接BD与y轴于点F,将△BOF绕点O逆时针旋转,记旋转后的三角形为△BOF′,B′F′所在直线与直线AC、直线OC分别交于点G、K,当△CGK为直角三角形时,直接写出线段BG的长.
【答案】(1)、y=x+3;(﹣1,4);(2)、△PMQ的周长最大值为;L的最小值为
;(3)、
或4
【解析】
试题分析:(1)、首先求出抛物线与坐标轴的交点,利用待定系数法以及配方法即可解决问题.(2)、①如图1中,作DN∥y轴J交AC于N,直线BD交AC于K.先求出△DKN的三边,再求出PQ的最大值,利用相似三角形的性质求出PM、MQ即可解决问题.②如图2中,作PE∥x轴交y轴与E,作E关于x轴的对称点K,连接DK与x轴交于点O′,将OH平移到O′H处,此时四边形PHO′D的周长最小.分别求出PD,DK,OO′即可解决问题.(3)、分两种情形①如图3中,当∠CGK=90°时,作OE⊥GK于E,想办法求出点G坐标即可.②如图4中,当∠CKG=90°时,求出点G坐标即可解决问题.
试题解析:(1)、对于抛物线y=﹣x2﹣2x+3,令x=0得y=3,∴点C(0,3), 令y=0得﹣x2﹣2x+3=0,解得x=﹣3或1, ∴A(﹣3,0),B(1,0), 设直线AC的解析式为y=kx+b,把A、C两点坐标代入得到, 解得
, ∴直线AC的解析式为y=x+3.∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,
∴顶点D坐标为(﹣1,4).
(2)、①如图1中,作DN∥y轴J交AC于N,直线BD交AC于K.
∵直线AC的解析式为y=x+3,直线BD的解析式为y=y=﹣2x+2, 由解得
,
∴点K坐标(﹣,
),N(﹣1,2), ∴DN=2,DK=
=
,KN=
=
, 在△PMQ中,∵∠PMQ=∠DKN=定值,
∴当△PMQ周长的最大值时,PQ定值最大,设P(m,﹣m2﹣2m+3)则Q(m,m+3),
∴PQ=﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3=﹣m2﹣3m=﹣(m+)2+
. ∵a=﹣1<0, ∴m=﹣
时,PQ的最大值为
,
由△PMQ∽△DKN,得=
=
, ∴
=
=
, ∴PM=
,MQ=
,
∴△PMQ的周长最大值为+
+
. ②如图2中,作PE∥x轴交y轴与E,作E关于x轴的对称点K,连接DK与x轴交于点O′,将OH平移到O′H处,此时四边形PHO′D的周长最小.
∵P(﹣,
),D(﹣1,4),K(0,﹣
), ∴O′坐标为(﹣
,0),PD=
=
,DK=
=
,O′H=
,
∴OH向左平移个单位,L的最小值=PD+DK+O′H=
+
+
.
()、①如图3中,当∠CGK=90°时,作OE⊥GK于E,
∵OA=OC,∠AOC=90°, ∴∠GCK=∠GKC=∠OKE=∠KOE=45°, ∵OE==
=
,
∴OK=,KC=3﹣
, ∴G(
﹣
,
+
),
∴GB==
.
②如图4中,当∠CKG=90°时,点G(﹣3,
),
∴BG==4
.
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是高,BE是中线,CF是角平分线,CF交AD于点G,交BE于点H,下面说法正确的是( )
① △ABE的面积与△BCE的面积相等;② ∠AFG=∠AGF;③ ∠FAG=2∠ACF;④ BH=CH
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④
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【题目】从﹣3、﹣2、﹣1、4、5中任取两个数相加,若所得的和的最大值是a,最小值是b,则a+b的值是( )
A. ﹣2 B. ﹣3 C. 3 D. 4
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【题目】自1939年创办以来,重庆育才中学一直坚守文化底线,不断挑战自我极限,在沧桑文化中愈加根深叶茂.在今年,即将推出的本部改造计划不仅是文化审美层面的颠覆尝试,也是学校发展的巨大工程,其中三种style的民国大门各具特色,A磅礴大气,B清爽简约,C典雅古朴款,为调查民意学校让教职工进行投票呈现了四种结果,喜欢A款、喜欢B款、喜欢C款、都可以,现调查结果如下:
(1)如图,喜欢C款的占20%,喜欢B款的占15%,则调查总人数为,扇形统计图中认为“都可以”的所占圆心角为度;根据题中信息补全条形统计图.
(2)我们学校共有600名教职工,请根据上图估算喜欢A款的有多少人?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】我国首艘国产航母于 2018 年 4 月 26 日正式下水,排水量约为 65000 吨,将65000 用科学记数法表示为( )
A. 6.5×10-4 B. 6.5 ×104 C. ﹣6.5×104 D. 0.65×104
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