Question

7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，直线EF直线EF过点O与AD、BC相交于点E、F，
（1）求证：OE=OF．
（2）若直线EF与DC、BA的延长线相交于F、E，请为（1）结论是否还成立吗？如成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）若平行四边形的面积为20，BC=10，CD=6，直线EF在绕点O旋转的过程中，线段EF何时最短？并求出EF的最小值？

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是平行四边形，易证得△AOF≌△COE（ASA），即可得OE=OF；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，易证得△AOE≌△COF（AAS），即可证得OE=OF；
（3）根据平行线间距离最短判断出EF⊥BC时，EF最短，最后根据平行四边形的面积即可确定出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OCF}\\{∠AOE=∠COF}\\{AO=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF；
（2）成立．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB∥CD，
∴∠E=∠F，
在△OAE和△OCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠F}\\{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；
（3）①当直线EF在绕点O旋转的过程中，直线EF与AD，BC相交时，EF⊥BC时，EF最短，
∵平行四边形的面积为20，BC=10，
∴S_{平行四边形ABCD}=BC•EF=10×EF=20，
∴EF=2．
∴直线EF在绕点O旋转的过程中，EF⊥BC时，EF最短，EF的最小值为2．
②当直线EF在绕点O旋转的过程中，直线EF与DC、BA的延长线相交时，EF⊥AD时，EF最短，
同①的方法，得出EF最小值为$\frac{20}{6}$=$\frac{10}{3}$，
即：直线EF在绕点O旋转的过程中，EF⊥BC时，EF最短，EF的最小值为2．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的面积公式，平行线间的距离最短，解（1）（2）的关键是判断出△AOE≌△COF，解（3）的关键是判断出EF⊥BC时，EF最短．