Question

17．如图，已知AB、AC与⊙O相切于点B、C，连接BO并延长交AC于点D．
若AB=6，BD=8．
（1）求⊙O的半径r；
（2）求BC的长．

Answer 1

分析 （1）连接半径OA，在Rt△OCD中，根据勾股定理列方程可求得r的值；
（2）由垂直平分线的逆定理得：OA是BC的中垂线，根据垂径定理得：BE=CE，最后利用面积法列式可求得BE的长，所以BC=2BE．

解答 解：（1）连接OC，
∵AB、AC是⊙O的切线，
∴AB=AC=6，OC⊥AD，BD⊥AB，
∴∠ABD=∠OCD=90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴CD=10-6=4，
∵⊙O的半径r；
∴OB=OC=r，OD=8-r，
在Rt△OCD中，（8-r）²=r²+4²，
64-16r=16，
∴r=3，
（2）连接OA，交BC于E，
∵AB=AC，OB=OC，
∴OA是BC的中垂线，
∴BE=CE，
在Rt△ABO中，AO=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴S_△ABO=$\frac{1}{2}$AB•OB=$\frac{1}{2}$OA•BE，
6×3=3$\sqrt{5}$BE，
∴BE=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴BC=2BE=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了切线长定理、线段垂直平分线的逆定理、勾股定理，熟练掌握切线长定理是本题的关键，在圆中的计算题中，常设半径为r，根据勾股定理列方程解决问题．