Question

【题目】如图，△ABC是定圆O的内接三角形，AD为△ABC的高线，AE平分∠BAC交⊙O于E，交BC于G，连OE交BC于F，连OA，在下列结论中，①CE=2EF，②△ABG∽△AEC，③∠BAO=∠DAC，④ 为常量．其中正确的有 ．

Answer 1

【答案】②，③，④
【解析】解：∵∠BCE的度数不一定为30°， ∴Rt△CEF中，CE=2EF不一定成立，故①错误；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAG=∠EAC，
又∵∠ABG=∠AEC，
∴△ABG∽△AEC，故②正确；
如图所示，延长AO交⊙O于点H，连接BH，

∵AH是⊙O直径，AD⊥BC，
∴∠ABH=90°，∠ADC=90°，
∴∠H+∠BAH=90°，∠C+∠ACD=90°，
∵∠H=∠ACD，
∴∠BAH=∠DAC，故③正确；
∵∠BAH=∠DAC，∠ABH=∠ADC，
∴△ABH∽△ADC，
∴ = ，即AH= ，
又∵AH为常量，
∴ 为常量，故④正确；
故答案为：②，③，④．
根据圆周角定理以及相似三角形的判定方法，即可得出△ABG∽△AEC，△ABH∽△ADC，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．