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【题目】如图,△ABC是定圆O的内接三角形,AD为△ABC的高线,AE平分∠BAC交⊙O于E,交BC于G,连OE交BC于F,连OA,在下列结论中,①CE=2EF,②△ABG∽△AEC,③∠BAO=∠DAC,④ 为常量.其中正确的有

【答案】②,③,④
【解析】解:∵∠BCE的度数不一定为30°, ∴Rt△CEF中,CE=2EF不一定成立,故①错误;
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAG=∠EAC,
又∵∠ABG=∠AEC,
∴△ABG∽△AEC,故②正确;
如图所示,延长AO交⊙O于点H,连接BH,

∵AH是⊙O直径,AD⊥BC,
∴∠ABH=90°,∠ADC=90°,
∴∠H+∠BAH=90°,∠C+∠ACD=90°,
∵∠H=∠ACD,
∴∠BAH=∠DAC,故③正确;
∵∠BAH=∠DAC,∠ABH=∠ADC,
∴△ABH∽△ADC,
= ,即AH=
又∵AH为常量,
为常量,故④正确;
故答案为:②,③,④.
根据圆周角定理以及相似三角形的判定方法,即可得出△ABG∽△AEC,△ABH∽△ADC,再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论.

练习册系列答案
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∴∠DOE_____°(     )

∵∠150°(     )

∴∠AOD=∠________-∠________________°

∵∠BOC与∠AOD_______(____________)

∴∠BOC=∠________=∠_________°(_____________)

OD平分∠AOF(______________)

且∠AOD____________°(______________)

∴∠AOF2__________________°(      )

∵∠BOF+∠AOF______°(        )

∴∠BOF______°-∠AOF_________°.

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