【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC为弦,点D是弧BC的中点,过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点E.
(1)判断DE与AE的位置关系,并说明理由;
(2)求证:AB=AE+CE.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
(1)连接OD,由切线的性质得到OD⊥DE,因为点D是劣弧BC的中点,所以弧CD=弧BD,再根据圆周角定理得到∠ADO=∠EAD,根据平行线的判定和性质得到DE⊥AE;
(2)连接CD、BD,过点D作DF⊥AB垂足为F. 根据全等三角形的判定(HL)和性质进行求解,即可得到答案.
解:(1)DE⊥AE.
连接OD.
∵DE是⊙O的切线
∴OD⊥DE
∴∠ODE=90°
∵点D是劣弧BC的中点
∴弧CD=弧BD
∴∠EAD=∠DAB
∵OD=OA
∴∠ADO=∠DAB
∴∠ADO=∠EAD
∴OD∥AE
∴∠E=180°-∠ODE=90°
∴DE⊥AE
(2)连接CD、BD,过点D作DF⊥AB垂足为F.
∵DF⊥AB,DE⊥AE
∴∠ADF=∠E=90°
∵∠EAD=∠DAB,AD=AD
∴△ADE≌△ADF
∴AF=AE,DE=DF
∵弧CD=弧BD∴CD= BD
在Rt△BDF和Rt△CDE中,DE=DF ,CD= BD
∴Rt△BDF≌Rt△CDE
∴CE=BF
∵AB=AF+BF
∴AB=AE+CE.
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【题目】如图1,抛物线与x轴交于点,,与y轴交于点C,顶点为D,直线AD交y轴于点E.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图2,将沿直线AD平移得到.
①当点M落在抛物线上时,求点M的坐标.
②在移动过程中,存在点M使为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点M的坐标.
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【题目】已知如图,是直角三角形,,,点由点开始向点以的速度运动,点由点开始向点以的速度运动,若、同时开始运动。
(1)运动多少秒时是直角三角形?
(2)运动多少秒时△的面积是面积的?
(3)运动多少秒时的长度是?
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【题目】如图,在边长为6cm的正方形ABCD中,点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发,均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动,在运动过程中,运动时间t=_____秒时四边形EFGH的面积最小.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点P是以C(﹣,)为圆心,1为半径的⊙C上的一个动点,已知A(﹣1,0),B(1,0),连接PA,PB,则PA2+PB2的最小值是_____.
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【题目】已知:△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是 ;
(2)以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2:1,点C2的坐标是 ;
(3)△A2B2C2的面积是 平方单位.
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【题目】如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,在下列说法中:①ac<0;②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1,x2=3;③a+b+c<0;④当x>1时,y随x的增大而减小;⑤2a﹣b=0;⑥b2﹣4ac>0.下列结论一定成立的是( )
A. ①②④⑥ B. ①②③⑥ C. ②③④⑤⑥ D. ①②③④
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【题目】如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于点A(﹣1,0),点B(3,0),与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点,连接AD,BD.
(1)直接写出点C、D的坐标;
(2)求△ABD的面积;
(3)点P是抛物线上的一动点,若△ABP的面积是△ABD面积的,求点P的坐标.
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【题目】如图,已知BC是⊙O的直径,A是⊙O上一点,AD⊥BC,垂足为D,=,BE交AD于点F.
(1)∠ACB与∠BAD相等吗?为什么?
(2)判断△FAB的形状,并说明理由.
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