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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC为弦,点D是弧BC的中点,过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点E

1)判断DEAE的位置关系,并说明理由;

2)求证:AB=AE+CE

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

1)连接OD,由切线的性质得到ODDE,因为点D是劣弧BC的中点,所以弧CD=BD,再根据圆周角定理得到∠ADO=EAD,根据平行线的判定和性质得到DEAE

2)连接CDBD,过点DDFAB垂足为F. 根据全等三角形的判定(HL)和性质进行求解,即可得到答案.

解:(1DEAE.

连接OD.

DE是⊙O的切线

ODDE

∴∠ODE=90°

∵点D是劣弧BC的中点

∴弧CD=BD

∴∠EAD=DAB

OD=OA

∴∠ADO=DAB

∴∠ADO=EAD

ODAE

∴∠E=180°-ODE=90°

DEAE

2)连接CDBD,过点DDFAB垂足为F.

DFABDEAE

∴∠ADF=E=90°

∵∠EAD=DAB,AD=AD

∴△ADE≌△ADF

AF=AE,DE=DF

∵弧CD=BDCD= BD

RtBDFRtCDE中,DE=DF ,CD= BD

RtBDFRtCDE

CE=BF

AB=AF+BF

AB=AE+CE.

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