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【题目】如图1中,△ABC为等腰三角形,AB=AC,点E为腰AB上任意一点,以CE为底边作等腰△DEC.且∠BAC=EDC=α,连结AD

(1)如图2中,当α=60°时,∠DAC=______=______

(2)如图3中,当α=90°时,求∠DAC的度数与的值;

(3)如图1中,当BC=AC.∠DAC=___(α的代数式表示)=___

【答案】(1)60°1(2)DAC=45°=(3)180°-2α.

【解析】

(1)由三角形ABC与三角形CDE都为正三角形,得到AB=ACCE=CD,以及内角为60°,利用等式的性质得到∠ECB=DCA,利用SAS得到三角形ECB与三角形DCA全等,利用全等三角形对应边相等得到BE=AD,即可求出所求之比;

(2)由三角形CDE与三角形ABC都为等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质得到CE=CDBC=AC,以及锐角为45°,利用等式的性质得到∠ECB=DCA,利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到三角形ECB与三角形DCA相似,利用相似三角形对应边成比例即可求出所求之比;

(3)仿照前两问,以此类推得到一般性规律,求出所求之比即可.

解:(1)∵△ABC△CDE都是正三角形,

∴∠B=ACB=DCE=60°AB=ACCE=DC

∵∠ECB=ACB-ACE=60°-ACE

DCA=DCE-ACE=60°-ACE

∴∠ECB=DCA

ECBDCA中,

∴△ECB≌△DCA(SAS)

BE=AD,∠B=DAC=60°

=1

故答案为:60°1

(2)∵等腰RtABC和等腰RtCDE中,

∴∠B=ACB=DCE=45°CE=DCBC=AC

∵∠ECB=ACB-ACE=45°-ACE

ACD=DCE-ACE=45°-ACE

∴∠ECB=DCA

∴△ECB∽△DCA

∴∠B=DAC=45°

(3)依此类推,当BC=AC时,,理由为:

∵等腰ABC和等腰CDE中,

∴∠B=ACB=DCECE=DCBC=AC

∵∠ECB=ACB-ACE,∠ACD=DCE-ACE

∴∠ECB=DCA

∴△ECB∽△DCA

∴∠B=DAC=180°-2α

故答案为:180°-2α

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