Question

2．已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．
（1）判断AC与图中的那条线段相等，并证明你的结论；
（2）若CE的长为$\sqrt{3}$，求BG的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得出BD=CD，根据AAS证明Rt△DFB与Rt△DAC全等即可；
（2）连结CG，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和勾股定理解答即可．

解答 （1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD=CD，
∵BE⊥AC于E，
∴∠BEC=90°，
∵∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA，
在Rt△DFB与Rt△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBF=∠DCA}\\{∠FDB=∠CDA}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△DFB≌Rt△DAC，
∴BF=AC；
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∵BE⊥AC于E，
∴∠BEA=∠BEC=90°，
又∵BE=BE，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC，
∴CE=AE．
连结CG，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD，
又H是BC边的中点，
∴DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC，
∴BG=CG，
∵∠EBC=22.5°，
∴∠GCB=22.5°，
∴∠EGC=45°，
∴Rt△CEG是等腰直角三角形，
∵CE的长为$\sqrt{3}$，
∴EG=$\sqrt{3}$，
利用勾股定理得：CE²+GE²=GC²，
∴${（\sqrt{3}）^2}+{（\sqrt{3}）^2}=G{C^2}$，
∴$GC=\sqrt{6}$，
∴BG的长为$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．