[题目](1)问题发现如图1.和均为等边三角形.直线AD和直线BE交于点F．填空:①的度数是 ,②线段AD.BE之间的数量关系为 ,(2)类比探究如图2.和均为等腰直角三角形..直线AD和直线BE交于点F．请判断的度数及线段AD.BE之间的数量关系.并说明理由.(3)如图3.在中..点D在AB边上.. .将绕着点A在平面内旋转.请直接写出直线DE经过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】（1）问题发现

如图1，和均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．

填空：①的度数是____；②线段AD，BE之间的数量关系为________；

（2）类比探究

如图2，和均为等腰直角三角形，，直线AD和直线BE交于点F．请判断的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由，

（3）如图3，在中，，点D在AB边上，，，将绕着点A在平面内旋转，请直接写出直线DE经过点B时，点C到直线DE的距离．

【答案】（1）①60；②；（2）∠AFB=45°，AD=BE；理由见解析；（3）±

【解析】

（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），即可解决问题；
（2）结论：∠AFB=45°，AD=BE．证明△ACD∽△BCE，可得，∠CBF=∠CAF，由此即可解决问题；

（3）分两种情形分别求解即可解决问题．

解：（1）如图1中，

∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ACD=∠CBF，
设BC交AF于点O．
∵∠AOC=∠BOF，
∴∠BFO=∠ACO=60°，
∴∠AFB=60°，
故答案为60°，AD=BE．
（2）结论：∠AFB=45°，AD=BE．
理由：如图2中，

∵∠ABC=∠DEC=90°，AB=BC，DE=EC，
∴∠ACD=45°+∠BCD=∠BCE，，
∴△ACD∽△BCE，
∴，∠CBF=∠CAF，

∴AD=BE
∵∠AFB+∠CBF=∠ACB+∠CAF，
∴∠AFB=∠ACB=45°．
（3）如图3中，

∵AEB=∠ACB=90°，
∴A，B，C，E四点共圆，
∴∠CEB=∠CAB=30°，∠ABD=∠ACE，
∵∠FAE=∠BAC=30°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴=cos30°= ，
∴EC=BD，
在Rt△ADE中，∵DE=，∠DAE=30°，
∴AE=DE=3，
∴BE==4，
∴BD=BE-DE=4-，
∴CE=BD=2-，
∵∠BEC=30°，
∴点C到直线DE的距离等于CEsin30°=-．
如图4中，当D，EB在同一直线上时，同法可知BD=DE+EB=4+，CE=BD=2+，
点C到直线DE的距离等于CEsin30°=+．

综上所述，点C到直线DE的距离等于±．

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