【题目】平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,点A,C 在坐标轴上,点B(,),P是射线OB上一点,将绕点A顺时针旋转90°,得,Q是点P旋转后的对应点.
(1)如图(1)当OP = 时,求点Q的坐标;
(2)如图(2),设点P(,)(),的面积为S. 求S与的函数关系式,并写出当S取最小值时,点P的坐标;
(3)当BP+BQ = 时,求点Q的坐标(直接写出结果即可)
【答案】(1);(2),;(3).
【解析】
(1)先根据正方形的性质、解直角三角形可得,,再根据三角形全等的判定定理与性质可得,从而可得,由此即可得出答案;
(2)先根据正方形的性质得出,,再根据旋转的性质、勾股定理可得,,然后根据直角三角形的面积公式可得S与x的函数关系式,最后利用二次函数的解析式即可得点P的坐标;
(3)先根据旋转的性质、正方形的性质得出,,从而得出点P在OB的延长线上,再根据线段的和差可得,然后同(1)的方法可得,,最后根据三角形全等的性质、线段的和差可得,由此即可得出答案.
(1)如图1,过P点作轴于点G,过Q点作轴于点H
∵四边形OABC是正方形
∴
∵
∴
在中,,
∴
∵绕点A顺时针旋转得到
∴,
在和中,
∴
∴
∴
则点Q的坐标为;
(2)如图2,过P点作轴于点G
∵绕点A顺时针旋转得到
∴
∵
∴,
∴
在中,由勾股定理得:
整理得:
∴
整理得:
由二次函数的性质可知,当时,S随x的增大而减小;当时,S随x的增大而增大
则当时,S取得最小值,最小值为9
此时
故点P的坐标为;
(3)∵绕点A顺时针旋转得到
∴
∵
∴
∵四边形OABC是正方形,且边长
对角线
∴点P在OB的延长线上
∴
解得
如图3,过P点作轴于点G,过Q点作轴于点H
同(1)可得:,
,
则点Q的坐标为.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.
(1)求证:△ADF∽△DEC;
(2)若AB=8,AD=6,AF=4,求AE的长.
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【题目】某超市预测某饮料有发展前途,用1600元购进一批饮料,面市后果然供不应求,又用6000元购进这批饮料,第二批饮料的数量是第一批的3倍,但单价比第一批贵2元.
(1)第一批饮料进货单价多少元?
(2)若二次购进饮料按同一价格销售,两批全部售完后,获利不少于1200元,那么销售单价至少为多少元?
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【题目】在⊙O中,半径OA丄OB,点D在OA或OA的延长线上(不与点O,A重合),直线BD交⊙O于点C,过C作⊙O的切线交直线OA于点P.
(1)如图(1),点D在线段OA上,若∠OBC=15°, 求∠OPC的大小;
(2)如图(2),点D在OA的延长线上,若∠OBC=65°,求∠OPC的大小.
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【题目】如图,在每个小正方形的边长为的网格中,点A,B,C在格点上,以点A为圆心、AC为半径的半圆交AB于点 E.
(1)BE的长为________;
(2)请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,找一点P(点P,C 在AB两侧),使PA=5,PE与半圆相切. 简要说明点P的位置是如何找到的.
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【题目】有三个质地、大小都相同的小球分别标上数字2,-1,3后放入一个不透明的口袋搅匀,任意摸出一个小球,记下数字后,放回口袋中搅匀,再任意摸出一个小球,又记下数字b.这样就得到一个点的坐标.
(1)求这个点恰好在函数的图像上的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程,并求出结果)
(2)如果再往口袋中增加个标上数字2的小球,按照同样的操作过程,所得到的点恰好在函数的图像上的概率是_________(请用含的代数式直接写出结果).
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【题目】家访是学校与家庭沟通的有效渠道,是形成教育合力的关键,是转化后进生的催化剂.某市教育局组织全市中小学教师开展家访活动活动过程中,教育局随机抽取了部分教师调查其近两周家访次数,将采集到的数据按家访次数分成五类,并分别绘制了下面的两幅不完整的统计图.
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)请把条形统计图补充完整;
(2)所抽取的教师中,近两周家访次数的众数是 次,平均每位教师家访 次;
(3)若该市有12000名教师,请估计近两周家访不少于3次的教师有多少名?
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【题目】如图是由边长为1的小正方形构成的网格,每个小正方形的顶点叫做格点.的顶点在格点上,仅用无刻度的直尺在给定网格中画图,画图过程用虚线表示,画图结果用实线表示,按步骤完成下列问题:
(1)作点A关于BC的对称点F;
(2)将线段AB向右平移得到线段DE,DE与BC交于点M,使;
(3)线段DE可以由线段BF绕点O顺时针旋转度而得到(B,F的对应点分别为D,E),在图中画出点O
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【题目】如图,直线与轴交于点,与轴交于点,过点的抛物线与轴的另一个交点为.
(1)求抛物线的解析式和点的坐标;
(2)是直线上方抛物线上一动点,交于.设,请求出的最大值和此时点的坐标;
(3)是轴上一动点,连接,将绕点逆时针旋转得线段,若点恰好落在抛物线上,请直接写出此时点的坐标.
备用图
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