【题目】在⊙O中,半径OA丄OB,点D在OA或OA的延长线上(不与点O,A重合),直线BD交⊙O于点C,过C作⊙O的切线交直线OA于点P.
(1)如图(1),点D在线段OA上,若∠OBC=15°, 求∠OPC的大小;
(2)如图(2),点D在OA的延长线上,若∠OBC=65°,求∠OPC的大小.
【答案】(1)30°;(2)50°
【解析】
(1)连接OC,求出∠AOC=∠BOC - ∠BOA=60°,即可得到∠OPC=90° -∠AOC=30°;
(2)连接OC,求出∠AOC=∠AOB -∠BOC=40°,即可得到∠OPC=90° - ∠AOC = 50°.
解:(1)如图(1),连接OC.
∵PC是⊙O的切线,OC为⊙O的半径,
∴ OC⊥PC,
∴∠OCP=90°.
∵ OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC=15°.
∴∠BOC=180° -∠OBC-∠OCB=150°.
∵ OB⊥OA,
∴∠BOA=90°.
∴∠AOC=∠BOC - ∠BOA=60°.
∴∠OPC=90° - ∠AOC=30°.
(2)如图(2),连接OC.
∵ CP是⊙O的切线,OC为⊙O的半径,
∴ OC⊥PC.
∴∠OCP = 90°.
∵ OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC=65°.
∴∠BOC=180° -∠OBC -∠OCB=50°.
∵ OB⊥OA,
∴∠BOA=90°.
∴∠AOC=∠AOB -∠BOC=40°.
∴ ∠OPC=90° - ∠AOC = 50°.
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【题目】抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1,部分图象如图所示,下列判断中:①abc>0;②b2﹣4ac>0;③9a﹣3b+c=0;④若点(,y1),(﹣2,y2)均在抛物线上,则y1>y2;⑤5a﹣2b<0;其中正确的个数有( )
A.2B.3C.4D.5
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm.点P从B出发沿BA向A运动,速度为每秒1cm,点E是点B以P为对称中心的对称点,点P运动的同时,点Q从A出发沿AC向C运动,速度为每秒2cm,当点Q到达顶点C时,P,Q同时停止运动,设P,Q两点运动时间为t秒.
(1)当t为何值时,PQ∥BC?
(2)设四边形PQCB的面积为y,求y关于t的函数关系式;
(3)四边形PQCB面积能否是△ABC面积的?若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由;
(4)当t为何值时,△AEQ为等腰三角形?(直接写出结果)
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【题目】(2016山东省济宁市)如图,O为坐标原点,四边形OACB是菱形,OB在x轴的正半轴上,sin∠AOB=,反比例函数在第一象限内的图象经过点A,与BC交于点F,则△AOF的面积等于( )
A. 60B. 80C. 30D. 40
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【题目】抛物线(,,是常数,)经过点A(,)和点B (,),且抛物线的对称轴在轴的左侧. 下列结论: ① ; ② 方程 有两个不等的实数根; ③. 其中,正确结论的个数是( ).
A.0B.1C.2D.3
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【题目】抛物线(,,是常数,)经过点A(,)和点B (,),且抛物线的对称轴在轴的左侧. 下列结论: ① ; ② 方程 有两个不等的实数根; ③. 其中,正确结论的个数是( ).
A.0B.1C.2D.3
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【题目】平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,点A,C 在坐标轴上,点B(,),P是射线OB上一点,将绕点A顺时针旋转90°,得,Q是点P旋转后的对应点.
(1)如图(1)当OP = 时,求点Q的坐标;
(2)如图(2),设点P(,)(),的面积为S. 求S与的函数关系式,并写出当S取最小值时,点P的坐标;
(3)当BP+BQ = 时,求点Q的坐标(直接写出结果即可)
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【题目】(1)问题提出:
如图①,在Rt△BAC中,∠BAC=90°,点D,E分别是CB,AB的中点,点F是BD的中点,若AB=8,AC=6,则EF= ;
(2)问题探究:
如图②,已知:M是弓形AB上的中点,AB=24,弓形AB的高是8,则对应⊙O的面积为多少?(结果保留根号或π)
(3)问题解决:
如图③,在半径为5的⊙O中,弦BC=8,点A为优弧BC上的动点,过点A作AD⊥BC于点D,过点B作BE⊥AC于点E.AD和BE交于点P,连接PC,试求△PBC面积的最大值.
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【题目】我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用,方便了人们的生活.如图1,可以用秤砣到秤纽的水平距离,来得出秤钩上所挂物体的重量.称重时,若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x(厘米)时,秤钩所挂物重为y(斤),则y是x的一次函数.下表中为若干次称重时所记录的一些数据.
x(厘米) | 1 | 2 | 4 | 7 | 11 | 12 |
y(斤) | 0.75 | 1.00 | 1.50 | 2.75 | 3.25 | 3.50 |
(1)在上表x,y的数据中,发现有一对数据记录错误.在图2中,通过描点的方法,观察判断哪一对是错误的?
(2)根据(1)的发现,问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时,秤钩所挂物重是多少?
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