Question

【题目】（1）问题提出：

如图①，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，点D，E分别是CB，AB的中点，点F是BD的中点，若AB＝8，AC＝6，则EF＝　 　；

（2）问题探究：

如图②，已知：M是弓形AB上的中点，AB＝24，弓形AB的高是8，则对应⊙O的面积为多少？（结果保留根号或π）

（3）问题解决：

如图③，在半径为5的⊙O中，弦BC＝8，点A为优弧BC上的动点，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E．AD和BE交于点P，连接PC，试求△PBC面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）169π；（3）证明见解析，点P的运动轨迹是弧线，8．

【解析】

（1）如图①中，利用勾股定理求出BC，利用直角三角形斜边中线的性质求出AD，利用三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）如图②中，设圆心为O，连接OM，OB，OM交AB于E．设OB=r．利用勾股定理构建方程即可解决问题．
（3）首先证明∠BPC是定值，推出点P的运动轨迹是弧线，如图3-2中，当A，O，D共线时，PD定值最大，此时△PBC的面积最大．

解：（1）如图①中，

在Rt△ABC中，∵AB＝8，AC＝6，

∴BC＝＝10，

∵BD＝CD，

∴AD＝BC＝5，

∵BE＝EA，BF＝FD，

∴EF＝AD＝，

故答案为．

（2）如图②中，设圆心为O，连接OM，OB，OM交AB于E．设OB＝r．

∵

∴OM⊥BA，EM＝8，

∴AE＝EB＝12

在Rt△OEB中，∵OE2+EB2＝OB2

∴（r﹣8）2+122＝r2，

∴r＝13，

∴对应⊙O的面积为169π．

（3）如图3﹣1中，延长CP交AB于F．

∵在半径为5的⊙O中，弦BC＝8，

∴∠BAC是定值，设∠BAC＝α，

∵AD，BE是高，

∴CF也是△ABC的高，

∴∠ABE＝∠ACF＝90°﹣α，

∵∠BPD＝∠ABP+∠BAP，∠CPD＝∠ACP+∠CAP，

∴∠BPC＝∠ABP+∠BAP+∠CAP+∠PCA＝90°+90°﹣α＝180°﹣α，

∴∠BPC是定值，

∴点P的运动轨迹是弧线，

如图3﹣2中，当A，O，D共线时，PD定值最大，此时△PBC的面积最大．

连接OC，在Rt△ODC中，OD＝＝3，

∴AD＝5+3＝8，AC＝AB＝4，

∵BCAD＝ABCF，

∴CF＝＝，

∴AF＝＝，

∵cos∠BAD＝＝，

∴＝，

∴PA＝6，

∴PD＝AD﹣PA＝2，

∴△PBC的面积的最大值＝×8×2＝8．