【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,CN为⊙O的切线,OM⊥AB于点O,分别交AC、CN于D、M两点.
(1)求证:MD=MC;
(2)若⊙O的半径为5,AC=4,求MC的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)MC=.
【解析】(1)连接OC,利用切线的性质证明即可;
(2)根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可.
(1)连接OC,
∵CN为⊙O的切线,
∴OC⊥CM,∠OCA+∠ACM=90°,
∵OM⊥AB,
∴∠OAC+∠ODA=90°,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠ACM=∠ODA=∠CDM,
∴MD=MC;
(2)由题意可知AB=5×2=10,AC=4,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴BC==2,
∵∠AOD=∠ACB,∠A=∠A,
∴△AOD∽△ACB,
∴,即,
可得:OD=2.5,
设MC=MD=x,在Rt△OCM中,由勾股定理得:(x+2.5)2=x2+52,
解得:x=,
即MC=.
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【题目】如图,两摞规格完全相同的课本整齐叠放在桌子上,请根据图中所给出的数据信息,回答下列问题:
(1)每本课本的厚度为 ;
(2)若有一摞上述规格的课本本,整齐叠放在桌子上,请用含的代数式表示出这一摞数学课本的顶部距离地面的高度为( );
(3)当时,若从中取走15本,求余下的课本的顶部距离地面的高度.
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【题目】如图,点C,E,F,B在同一直线上,点A,D在BC异侧,AB∥CD,AE=DF,∠A=∠D.
(1)求证:AB=CD;
(2)若AB=CF,∠B=30°,求∠D的度数.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,点M、 N分别在AB、CD上,AM=CN, MN与AC交于点O,连接BO,若∠BAC=29°,则∠OBC为________.
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【题目】某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后,想利用此知识来探究周长一定的矩形其边长分别为多少时面积最大. 请将他们的探究过程补充完整.
(1)列函数表达式:若矩形的周长为8,设矩形的一边长为x,面积为y,则有y=____________;
(2)上述函数表达式中,自变量x的取值范围是____________;
(3)列表:
x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | … |
y | … | 1.75 | 3 | 3.75 | 4 | 3.75 | 3 | m | … |
写出m=____________;
(4)画图:在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点,请你画出该函数的图象;
(5)结合图象可得,x=____________时,矩形的面积最大;写出该函数的其它性质(一条即可):____________.
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【题目】如图,已知一次函数y=kx+4图象交直线OA于点A(1,2),交y轴于点B,点C为坐标平面内一点.
(1)求k值;
(2)若以O、A、B、C为顶点的四边形为菱形,则C点坐标为 ;
(3)在直线AB上找点D,使△OAD的面积与((2)中菱形面积相等,则D点坐标为 .
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【题目】程大位是我国明朝商人,珠算发明家.他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著,详述了传统的珠算规则,确立了算盘用法.书中有如下问题:
一百馒头一百僧,大僧三个更无争,
小僧三人分一个,大小和尚得几丁.
意思是:有100个和尚分100个馒头,如果大和尚1人分3个,小和尚3人分1个,正好分完,大、小和尚各有多少人,下列求解结果正确的是( )
A. 大和尚25人,小和尚75人 B. 大和尚75人,小和尚25人
C. 大和尚50人,小和尚50人 D. 大、小和尚各100人
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【题目】如图,已知AM∥BN,∠A=60°.点P是射线AM上一动点(与点A不重合),BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C,D.
(1)求∠CBD的度数;
(2)当点P运动时,∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化?若不变化,请写出它们之间的关系,并说明理由;若变化,请写出变化规律.
(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时,直接写出∠ABC的度数.
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【题目】如图,在中,点D,E分别在边AC,AB上,BD与CE交于点O,给出下列三个条件:①∠EBO=∠DCO;②;③.
(1)上述三个条件中,由哪两个条件可以判定是等腰三角形?(用序号写出所有成立的情形)
(2)请选择(1)中的一种情形,说明你的理由.
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