【题目】如图,直线与轴交于点,与轴交于点,过点的抛物线与轴的另一个交点为.
(1)求抛物线的解析式和点的坐标;
(2)是直线上方抛物线上一动点,交于.设,请求出的最大值和此时点的坐标;
(3)是轴上一动点,连接,将绕点逆时针旋转得线段,若点恰好落在抛物线上,请直接写出此时点的坐标.
备用图
【答案】(1),点的坐标为;(2)的最大值为,此时;(3)(,)或(,)
【解析】
(1)把点B(3,0)代入先求得c的值,再求得点C的坐标,利用待定系数法即可求得抛物线的解析式和点A的坐标;
(2)设点P的横坐标为,作轴于N,交BC于M,先用m表示出,再作于E,于F,得到,即,推出,得到,利用二次函数的性质即可求解;
(3)过M,E分别作轴,轴的垂线交于H,设点M的坐标为(,),证得,得到点E的坐标为(,),代入即可得n的值,即可求解.
(1)∵与轴交于点,与轴交于点C,
∴,解得,
∴,
∵抛物线经过点B,C,
∴
解得,
∴抛物线解析式为;
当时,,
解得:
∴点的坐标为;
(2)设点P的横坐标为,连接PC,PB,过P作轴于N,交BC于M,
由(1)知:直线的解析式为,
∴,
则,,
∴,
∴
,
连接AC,分别过A,P作于E,于F,
∴,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∵,
∴,
∴当时,的最大值为,此时;
(3)过M,E分别作轴,轴的垂线交于H,
∴∠H=90,∠MEH=∠OME,
根据旋转的性质知:∠CME=90,EM=MC,
∴∠CMO+∠OME=90,∠CMO+∠MCO=90,
∴∠MEH=∠MCO,
设点M的坐标为(,),
根据题意将绕点逆时针旋转得线段,若点恰好落在抛物线上,
则点M在轴正半轴上,即,
在Rt△MEH和Rt△MCO中,
,
∴,
∴,,
∴点E的坐标为:(,),
把代入E (,) 代入,
整理得:,
解得,.
∴点M的坐标为:(,)或(,).
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【题目】平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,点A,C 在坐标轴上,点B(,),P是射线OB上一点,将绕点A顺时针旋转90°,得,Q是点P旋转后的对应点.
(1)如图(1)当OP = 时,求点Q的坐标;
(2)如图(2),设点P(,)(),的面积为S. 求S与的函数关系式,并写出当S取最小值时,点P的坐标;
(3)当BP+BQ = 时,求点Q的坐标(直接写出结果即可)
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【题目】为了更好地做好复课准备,某班家委会讨论决定购买两种型号的口罩供班级学生使用,已知型口罩每包价格元,型口罩每包价格比型少4元,180元钱购买的型口罩比型口罩少12包.
(1)求的值;
(2)经与商家协商,购买型口罩价格可以优惠,其中每包价格(元)和购买数量(包)的函数关系如图所示,型口罩一律按原价销售.
①求关于的函数解析式;
②若家委会计划购买型、型共计100包,其中型不少于30包,且不超过60包.问购买型口罩多少包时,购买口罩的总金额最少,最少为多少元?
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【题目】我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用,方便了人们的生活.如图1,可以用秤砣到秤纽的水平距离,来得出秤钩上所挂物体的重量.称重时,若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x(厘米)时,秤钩所挂物重为y(斤),则y是x的一次函数.下表中为若干次称重时所记录的一些数据.
x(厘米) | 1 | 2 | 4 | 7 | 11 | 12 |
y(斤) | 0.75 | 1.00 | 1.50 | 2.75 | 3.25 | 3.50 |
(1)在上表x,y的数据中,发现有一对数据记录错误.在图2中,通过描点的方法,观察判断哪一对是错误的?
(2)根据(1)的发现,问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时,秤钩所挂物重是多少?
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【题目】某校组织了一次创建全国文明城市知识竞赛活动,有30名同学参加这次竞赛,成绩分布频数表如下:(单位:分)
成绩(分) | 组中值 | 频数(人数) |
80.5~85.5 | 83 | 3 |
85.5~90.5 | 88 | 6 |
90.5~95.5 | 93 | 12 |
95.5~100.5 | 98 | 9 |
(1)利用组中值计算这30位同学的平均数;
(2)学校根据这次竞赛成绩从高到低选15位同学参加市级比赛,小明同学也参加了这次竞赛,知道自己的成绩后,他想知道自己是否有资格参加市里比赛(学校还未公布到市里比赛名单),他最应关注频数,平均分,众数,中位数中的哪个量?请说明理由;
(3)“创文知识竞赛”中,获一等奖的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯图案的三枚纪念章,她从中选取两枚送给弟弟,则小红送给弟弟的两枚纪念章中,恰好有彩灯图案的概率是多少?请用树状图或列表法说明.
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【题目】如图,某飞机于空中探测某座山的高度,在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米,从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°,飞机继续以相同的高度飞行300米到B处,此时观测目标C的俯角是50°.(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.20)
(1)直接写出∠ACB的大小;
(2)求这座山的高度CD.
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【题目】某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动,为了解职工的捐数量,采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本,对他们的捐书量进行统计,统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类,分别用A、B、C、D、E表示,根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图,由图中给出的信息解答下列问题:
(1)补全条形统计图;
(2)求这30名职工捐书本数的平均数、众数和中位数;
(3)估计该单位750名职工共捐书多少本?
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=BC,延长AC到点D,使得CD=CB,连接BD交⊙O于点E,过点E做BC的平行线交CD于点F.
(1)求证:AE=DE.
(2)求证:EF为⊙O的切线;
(3)若AB=5,BE=3,求弦AC的长.
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