Question

【题目】为了更好地做好复课准备，某班家委会讨论决定购买两种型号的口罩供班级学生使用，已知型口罩每包价格元，型口罩每包价格比型少4元，180元钱购买的型口罩比型口罩少12包．

（1）求的值；

（2）经与商家协商，购买型口罩价格可以优惠，其中每包价格（元）和购买数量（包）的函数关系如图所示，型口罩一律按原价销售．

①求关于的函数解析式；

②若家委会计划购买型、型共计100包，其中型不少于30包，且不超过60包．问购买型口罩多少包时，购买口罩的总金额最少，最少为多少元？

Answer 1

【答案】（1）；（2）①当时，；当时，；当时，；②当购买型口罩50包时，购买口罩的总金额最少，最少为700元

【解析】

（1）由总价÷每包单价=包数，根据“180元钱购买的型口罩比型口罩少12包”，列分式方程即可求解；

（2）由图像信息可得函数关系，其中当时，与之间满足一次函数关系，由待定系数法即可求解，

（3）设型口罩购买包，分两种情况讨论，当和时，求出购买口罩的总金额与型口罩包数的函数关系，并利用函数的性质求解．

解：（1）根据题意可得：．

解得，，经检验，是原方程的解，

但不符合题意，舍去．

∴．

（2）①根据图像信息得：

当时，．

当时，与之间满足一次函数关系，

设函数表达式为．取点，

代入得，解得．

∴．

当时，．

综上所述：当时，；当时，；当时，．

②设型口罩购买包，则型口罩为包，购买两种口罩的总金额为元．

（Ⅰ）当，，

当时，取最大值722.5，

当时，取最小值700元，

∴当时，．

（Ⅱ）当时，由题意得，，随的增大而增大，

∴．

综上：当购买型口罩50包时，购买口罩的总金额最少，最少为700元．